1.4 生活中的优化问题举例 课件4

课件35张PPT。1.4 生活中的优化问题举例 一、如何判断函数的单调性？f(x)为增函数f(x)为减函数 设函数y=f(x) 在
某个区间内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的
一般步骤(1)确定定义域
(2)求导数f′(x)
(3)求f′(x)=0的根
(4)列表(5)判断求f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1) 求f(x)在区间(a，b)内极值；(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，从而确定函数的最值 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.1.了解导数在实际问题中的应用；
2.对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用；
3.利用导数知识解决实际中的最优化问题；
(重点)
4.将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.
(难点)探究点1 海报版面尺寸的设计
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？图3.4-1 因此，x=16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点.所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小.解法二：由解法(一)得 2.在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值.总结提升1.设出变量找出函数关系式；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义.(所说的区间也适用于开区间或无穷区间)探究点2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
例2 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则
(1)对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
(2)对制造商而言，哪一种的利润更大？ 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径(单位:cm)，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，
问题：
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润为：-+减函数↘增函数↗-1.07p因此，当r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；
当r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.
Ⅰ.半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；
Ⅱ.半径为6cm时，利润最大.从图中，你还能看出什么吗？当0＜r＜3时，利润为负值；当r＝3时，利润为零；当r＞3时，利润为正值，并随着瓶子半径的增大利润也相应增大.例3 磁盘的最大存储量问题
计算机把信息存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的
圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道
是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角
分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧可作为基本
存储单元，根据其磁化与否可分别
记录数据0或1，这个基本单元
通常称为比特(bit).
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，
每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索
便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.
问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径
介于r与R之间的环形区域．
⑴是不是r越小，磁盘的存储量越大？
⑵r为多少时，磁盘具有最大存储量
(最外面的磁道不存储任何信息)？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数.
设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的
宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，
故磁道数最多可达 .由于每条磁道上的比特数
相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，
即每条磁道上的比特数可达 .
所以磁盘总存储量
(1)它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以
判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．
(2)为求 的最大值，计算
令 ，解得
当 时， ；当 时， ．
因此当 时，磁盘具有最大存储量，
此时最大存储量为
　　解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示:优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学 模型作答一、选择题
1．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，
有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝ ＋6 ＋9x B．y＝ －6 ＋9x
C．y＝ －6 －9x D．y＝ ＋6 －9xB解：f′(x)＝ －3b＝3( －b)，令f′(x)＝0，即 －b＝0，
由已知可得b>0，∴x＝ 或－ (舍去)，
又0< <1，∴0值，则( )
A．0 C．b>0 D．b5．面积为S 的一切矩形中，其周长最小的是 ．6.在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解：设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数，
V(x)＝(60－2x)2·x(0＝4x3－240x2＋3600x.
所以V′(x)＝12x2－480x＋3600，
令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)
当00，
当10所以当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值V(10)＝16000(cm3)答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，
箱子的容积最大，最大容积为16000cm3.
[点评]　在解决实际应用问题中，如果函数在
区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义
判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数
值进行比较．1.解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题的答案用导数解决数学问题2.导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
(1)与几何有关的最值问题；
(2)与物理学有关的最值问题；
(3)与利润及其成本有关的最值问题；
(4)效率最值问题. 3.解决优化问题的方法：
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具. 卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不挠. ——贝多芬