1.5.1和1.5.2 曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件3
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| 名称 | 1.5.1和1.5.2 曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件3 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-15 19:50:13 | ||
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文档简介
课件56张PPT。1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程1.连续函数与曲边梯形的概念
(1)连续函数：如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条
_________的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数.
(2)曲边梯形：由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线_______所
围成的图形(如图阴影所示).连续不断y=f(x)2.曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤
分割→_________→_____→取极限近似代替求和1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路
程.( )
(2)当n很大时，函数f(x)=x2在区间[ ]上的值，只能用
( )2近似代替.( )
(3)mi=i2， =mi=30.( )【解析】(1)错误.在求汽车行驶路程的问题中，分割的区间表示的是时间.
(2)错误.可以用[ ]上的任意一点处的函数值代替.
(3) 正确.
答案：(1)×(2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)将区间[1，3]进行10等分需插入______个分点，第三个区间是__________.
(2)做直线运动的物体的速度v=2t(m/s)，则物体在前3 s内行驶的路程为______________.
(3)函数f(x)= _______连续函数(填是或不是).【解析】(1)插入9个分点，即可将区间10等分.
第三个区间是[1.4，1.6].
答案：9 [1.4，1.6]
(2)由于做直线运动的物体的速度为v=2t(m/s)，则物体在前3 s内行驶的路程为直线t=0，t=3和v=2t 围成的三角形的面积：
S= ×3×2×3=9.
答案：9 m
(3)因为f(x)= 的图象是两支，不是一条连续的曲线，故不是连续函数.
答案：不是【要点探究】
知识点1 曲边梯形的面积
1.对连续函数与曲边梯形的说明
(1)连续函数：对于区间I上的连续函数y=f(x)，从图象上看即连续不断，从定义域上看，即自变量在I上取一切实数值，如幂函数y= 在R上不是连续函数，而在区间(-∞，0)，(0，+∞)上是连续函数.
(2)曲边梯形：是由曲线段和直线段所围成的平面图形.2.求曲边梯形面积的思想及注意事项
(1)思想：利用无限逼近的思想方法，“以直代曲”将曲边梯形分成很多个小曲边梯形，将曲边近似地看成直边求其面积，然后求和即得曲边梯形面积的近似值，对和求极限得面积的精确值.
(2)注意事项：
①在分割过程中，分割得越细，近似代替后所求面积的和越接近曲边梯形的面积，也可以不是等分.②当把区间[0，1]n等分时，第i个区间左端点的函数值为f( )，右端点的函数值为f( ).可以用每一个小区间内每一个点对应的函数值，一般常用左端点的函数值，或用右端点的函数值作为小矩形的高.
③当n→+∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值.【微思考】
(1)在区间[a，b]上插入n个分点使其等分可得多少个小区间？区间长度为多少？
提示：可得n+1个小区间；区间长度为
(2)将曲边梯形进行分割时，是将哪些条边等分的？分割后的小曲边梯形是如何计算面积的？
提示：将曲边和曲边所对的边进行等分，分割后的小曲边梯形面积是利用矩形面积近似代替其面积计算的.【即时练】
1.在区间[0，3]内插入2 014个分点，则可得_______个小区间，小区间的长度是_______.
2.直线x=1，x=2，y=0与曲线y= (x>0)围成曲边梯形，将区间[1，2]100等分后第一个小区间上曲边梯形的面积是多少？
【解析】1.可得2 015个小区间，小区间长度为
答案：2 015
2.将曲边梯形近似地看成矩形，其边长分别为f(1)=1， ，故面积=1× =0.01.知识点2 汽车行驶的路程问题
求变速直线运动的路程的方法
类似于“以直代曲”求曲边梯形的方法，“以不变代变”利用匀速直线运动路程的求法，求变速直线运动的路程.即将运动时间进行分割，在无限小时间段上变速可看成匀速，然后求和取极限，从而求得变速直线运动的路程.【微思考】
(1)经过分割→近似代替→求和→取极限，这样最后得到的路程是否是精确值？
提示：是精确值.
(2)为求变速运动的汽车在一小时内的运动路程，将一小时时间等分成100万份，然后以匀速运动方法求每份上的路程，再求和，这样得到的路程精确吗？
提示：不精确，只要份数有限就是近似值.【即时练】
汽车运动速度与时间的关系为v(t)=t2，运动时间为2小时，将运动时间区间分割为200等份，则汽车在第i个时间区间上的运动路程是多少？
【解析】在第i个区间上的运动速度为( )2，运动时间为
，所以路程【题型示范】
类型一 曲边梯形面积的求法
【典例1】(1)在求由x=a，x=b(aA.n个小曲边梯形的面积和等于S
B.n个小曲边梯形的面积和小于S
C.n个小曲边梯形的面积和大于S
D.n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定(2)求由抛物线y=2x2与直线x=0，x=t(t>0)，y=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i-1个区间为( )
(3)求直线y=0，x=1，x=2，曲线y=x2围成的曲边梯形的面积.【解题探究】1.题(1)中每个小区间的长度是多少？
2.题(2)中第i-1个小区间的长度为多少？
3.题(3)中应该分割哪个区间？将区间分成多少等份？
【探究提示】1.区间长度为
2.
3.应分割区间[1，2]，分成n等份.【自主解答】(1)选A.n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.所以A正确，B，C，D错误，故应选A.
(2)选D.在[0，t]上等间隔插入n-1个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间的长度均为 ，故第i-1个区间为[ ]，故选D.(3)分割：
在区间[1，2]上等间隔地插入n-1个点，将区间[1，2]等分成n个小区间：
记第i个区间为[ ](i=1，2，…，n)，
其长度为
分别过上述n-1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，
显然，近似代替：
记f(x)=x2，当n很大，即Δx很小时，在区间[ ]上，可以认为函数f(x)=x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值
从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[ ]上，用小矩形的面积ΔS′i近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔS′i=f( )·Δx=( )2·
= (n2+2ni+i2)(i=1，2，…，n) ①
求和：
由①可推知从而得到S的近似值
S≈Sn=
取极限：
可以看到，当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0时，Sn=
趋向于S，从而有【方法技巧】由极限法求曲边梯形的面积的步骤
第一步：分割.在区间[a，b]中等间隔地插入n-1个分点，将其等分成n个小区间[xi-1，xi](i=1，2，…，n)，小区间的长度Δxi=xi-xi-1；
第二步：近似代替，“以直代曲”.用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值.
第三步：求和.将n个小矩形的面积进行求和得Sn.
第四步：取极限.当n→∞时，Sn→S，S即为所求.【变式训练】求由直线x=1，x=2，y=0及曲线 围成的图形的面积S.
【解析】(1)分割
在区间[1，2]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间：[1， ]，[ ]，…，[ ]，
记第i个区间为[ ](i=1，2，…，n)，其长度为Δx=分别过上述n-1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小区边梯形面积的和为(2)近似代替
记f(x)= .当n很大，即Δx很小时，在区间[ ]上，可以认为f(x)= 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f( )．
从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[ ]上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′=f( )
= (i=1，2，…，n)．(3)求和
小曲边梯形的面积和
从而得到S的近似值S≈Sn=(4)取极限
分别将区间[1，2]等分成8，16，20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有
所以由直线x=1，x=2，y=0及曲线 围成的图形的面积S
为【误区警示】解答此类题目易错点是：(1)求区间长度.(2)第i个区间的端点值.(3)忘记取极限.【补偿训练】由直线x=1，y=0，x=0和曲线y=x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( )
【解析】选D.类型二 变速直线运动路程的求法
【典例2】 (1)已知某物体运动的速度为v=t，t∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值为________.
(2)汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t的路程s=vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度v(t)=-t2+5(单位：km/h)，问它在0≤t≤2(单位：h)这段时间内的路程S(单位：km)是多少？【解题探究】1.题(1)中每个区间上围成的图形是什么图形？其面积如何求？
2.题(2)中求变速直线运动物体的路程，需要通过几步解决？
【探究提示】1.梯形，其面积用对应的矩形面积近似代替计算，求得近似值.
2.分割、近似代替、求和、取极限四个步骤.【自主解答】(1)分割后的区间为[0，1]，[1，2]，[2，3]，…，[9，10]，每个区间上的面积分别为s1=1×1=1，s2=2×1=2，…，s10=10×1=10.
故路程的近似值为
答案：55(2)①分割
在区间[0，2]上等间隔地插入n-1个点，将区间等分成n个小区间：
记第i个区间为[ ](i=1，2，…，n)，
其长度为
把汽车在上述时间段内行驶的路程分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，显然，②近似代替
当n很大，即Δt很小时，在区间[ ]上，函数v(t)=
-t2+5的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值 ．在每一个小时间段内“以匀速代变速”，则有ΔSi≈ΔS′i= =
= (i=1，2，…，n) (i)③求和
由(i)得，
从而得到路程S的近似值，
S≈Sn=④取极限
可以看到，当n趋向于无穷大，即Δt趋向于0时，
趋向于S，从而有..【延伸探究】在本例题(1)中，如果取每个小区间左端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值为多少？
【解析】每个区间上的面积分别为s1=0×1=0，
s2=1×1=1，…，s10=9×1=9，
故路程的近似值为【方法技巧】求变速直线运动路程的方法
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.【变式训练】已知一质点的运动速度为v(t)=6t2+4(单位：m/s)，求质点开始运动后5 s内通过的路程.
【解析】(1)分割
在时间区间[0，5]上等间隔地插入n-1个点，将区间等分成n个小区间[0， ]，[ ]，…，[ ]，…，[ ，5]，
其中，第i(1≤i≤n)个小区间为[ ]，
其区间长度为
每个小时间段内的路程记为s1，s2，…，sn.(2)近似代替
根据题意可得第i(1≤i≤n)个小时间段内的路程为
(3)求和
每个小时间段内的路程之和为..(4)取极限
当n→∞时，Δs的极限值就是所求质点运动的路程，
即质点运动的路程为270 m.【补偿训练】求物体自由落体的下落距离：已知自由落体的运动速度v=gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
【解题指南】 分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限【解析】(1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．
把时间[0，t]分成n个小区间[ ](i=1，2，…，n)，
小区间长度 ，在各小区间物体下落的距离记作
Δsi(i=1，2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变
速运动的路程．
在[ ]上任取一时刻ξi(i=1，2，…，n)，可取ξi使
v(ξi)= 近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个
小区间上自由落体Δt= 内所经过的距离可近似表示为Δsi≈
(i=1，2，…，n)．(3)求和：
(4)取极限：
即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为 gt2. 【易错误区】因计算方法掌握不准导致曲边梯形面积计算错误
【典例】由抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为________.【解析】如图，因为y=x2为偶函数，图象关
于y轴对称，所以所求图形的面积应为y=x2
(x≥0)与直线x=0，y=4所围成的图形面积
S阴影的2倍，下面求S阴影.
y=x2，
由 y=4，得A点坐标为(2，4)，先求由直线x=0，x=2，y=0
x≥0
和曲线y=x2围成的图形的面积.(1)分割
将区间[0，2]n 等分，
则Δx= ，取ξi= (i=1，2，…，n).
(2)近似代替、求和.(3)取极限
所以S阴影= ，所以2S阴影=
即抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为
答案：【常见误区】【防范措施】
1.准确理解曲边梯形的各边
一般地，曲边梯形的三条边为直线段x=a，x=b，y=0，第四条边为曲线段y=f(x)，这是运用分割、近似代替、求和、取极限求曲边梯形面积的标准位置图形.如本例中，由直线x=0，x=2，y=0和曲线y=x2围成的图形.2.间接法求阴影部分的面积
对于不是标准位置的曲边梯形的面积，通常运用间接法转化为求标准位置的曲边梯形的面积，如本例中的对称思想与间接求面积法是常用的解题方法.注意曲边梯形的特殊情形是曲边三角形，求面积时解题过程基本相同.【类题试解】已知函数y=x2，y= 的图象交于O，A两点，求图中阴影部分的面积. 【解析】函数y=x2，y= 的图象交于O(0，0)，A(1，1)两
点，利用分割、近似代替、求和、取极限的方法步骤，可求得
由抛物线y=x2与直线y=0，x=1所围成的曲边三角形的面积
S= ，由于曲线y=x2，y= 关于直线y=x对称，所以曲线y=
与直线x=0，y=1所围成的曲边三角形的面积也等于 ，所
以图中阴影部分的面积为
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程1.连续函数与曲边梯形的概念
(1)连续函数：如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条
_________的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数.
(2)曲边梯形：由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线_______所
围成的图形(如图阴影所示).连续不断y=f(x)2.曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤
分割→_________→_____→取极限近似代替求和1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路
程.( )
(2)当n很大时，函数f(x)=x2在区间[ ]上的值，只能用
( )2近似代替.( )
(3)mi=i2， =mi=30.( )【解析】(1)错误.在求汽车行驶路程的问题中，分割的区间表示的是时间.
(2)错误.可以用[ ]上的任意一点处的函数值代替.
(3) 正确.
答案：(1)×(2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)将区间[1，3]进行10等分需插入______个分点，第三个区间是__________.
(2)做直线运动的物体的速度v=2t(m/s)，则物体在前3 s内行驶的路程为______________.
(3)函数f(x)= _______连续函数(填是或不是).【解析】(1)插入9个分点，即可将区间10等分.
第三个区间是[1.4，1.6].
答案：9 [1.4，1.6]
(2)由于做直线运动的物体的速度为v=2t(m/s)，则物体在前3 s内行驶的路程为直线t=0，t=3和v=2t 围成的三角形的面积：
S= ×3×2×3=9.
答案：9 m
(3)因为f(x)= 的图象是两支，不是一条连续的曲线，故不是连续函数.
答案：不是【要点探究】
知识点1 曲边梯形的面积
1.对连续函数与曲边梯形的说明
(1)连续函数：对于区间I上的连续函数y=f(x)，从图象上看即连续不断，从定义域上看，即自变量在I上取一切实数值，如幂函数y= 在R上不是连续函数，而在区间(-∞，0)，(0，+∞)上是连续函数.
(2)曲边梯形：是由曲线段和直线段所围成的平面图形.2.求曲边梯形面积的思想及注意事项
(1)思想：利用无限逼近的思想方法，“以直代曲”将曲边梯形分成很多个小曲边梯形，将曲边近似地看成直边求其面积，然后求和即得曲边梯形面积的近似值，对和求极限得面积的精确值.
(2)注意事项：
①在分割过程中，分割得越细，近似代替后所求面积的和越接近曲边梯形的面积，也可以不是等分.②当把区间[0，1]n等分时，第i个区间左端点的函数值为f( )，右端点的函数值为f( ).可以用每一个小区间内每一个点对应的函数值，一般常用左端点的函数值，或用右端点的函数值作为小矩形的高.
③当n→+∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值.【微思考】
(1)在区间[a，b]上插入n个分点使其等分可得多少个小区间？区间长度为多少？
提示：可得n+1个小区间；区间长度为
(2)将曲边梯形进行分割时，是将哪些条边等分的？分割后的小曲边梯形是如何计算面积的？
提示：将曲边和曲边所对的边进行等分，分割后的小曲边梯形面积是利用矩形面积近似代替其面积计算的.【即时练】
1.在区间[0，3]内插入2 014个分点，则可得_______个小区间，小区间的长度是_______.
2.直线x=1，x=2，y=0与曲线y= (x>0)围成曲边梯形，将区间[1，2]100等分后第一个小区间上曲边梯形的面积是多少？
【解析】1.可得2 015个小区间，小区间长度为
答案：2 015
2.将曲边梯形近似地看成矩形，其边长分别为f(1)=1， ，故面积=1× =0.01.知识点2 汽车行驶的路程问题
求变速直线运动的路程的方法
类似于“以直代曲”求曲边梯形的方法，“以不变代变”利用匀速直线运动路程的求法，求变速直线运动的路程.即将运动时间进行分割，在无限小时间段上变速可看成匀速，然后求和取极限，从而求得变速直线运动的路程.【微思考】
(1)经过分割→近似代替→求和→取极限，这样最后得到的路程是否是精确值？
提示：是精确值.
(2)为求变速运动的汽车在一小时内的运动路程，将一小时时间等分成100万份，然后以匀速运动方法求每份上的路程，再求和，这样得到的路程精确吗？
提示：不精确，只要份数有限就是近似值.【即时练】
汽车运动速度与时间的关系为v(t)=t2，运动时间为2小时，将运动时间区间分割为200等份，则汽车在第i个时间区间上的运动路程是多少？
【解析】在第i个区间上的运动速度为( )2，运动时间为
，所以路程【题型示范】
类型一 曲边梯形面积的求法
【典例1】(1)在求由x=a，x=b(a
B.n个小曲边梯形的面积和小于S
C.n个小曲边梯形的面积和大于S
D.n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定(2)求由抛物线y=2x2与直线x=0，x=t(t>0)，y=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i-1个区间为( )
(3)求直线y=0，x=1，x=2，曲线y=x2围成的曲边梯形的面积.【解题探究】1.题(1)中每个小区间的长度是多少？
2.题(2)中第i-1个小区间的长度为多少？
3.题(3)中应该分割哪个区间？将区间分成多少等份？
【探究提示】1.区间长度为
2.
3.应分割区间[1，2]，分成n等份.【自主解答】(1)选A.n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.所以A正确，B，C，D错误，故应选A.
(2)选D.在[0，t]上等间隔插入n-1个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间的长度均为 ，故第i-1个区间为[ ]，故选D.(3)分割：
在区间[1，2]上等间隔地插入n-1个点，将区间[1，2]等分成n个小区间：
记第i个区间为[ ](i=1，2，…，n)，
其长度为
分别过上述n-1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，
显然，近似代替：
记f(x)=x2，当n很大，即Δx很小时，在区间[ ]上，可以认为函数f(x)=x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值
从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[ ]上，用小矩形的面积ΔS′i近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔS′i=f( )·Δx=( )2·
= (n2+2ni+i2)(i=1，2，…，n) ①
求和：
由①可推知从而得到S的近似值
S≈Sn=
取极限：
可以看到，当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0时，Sn=
趋向于S，从而有【方法技巧】由极限法求曲边梯形的面积的步骤
第一步：分割.在区间[a，b]中等间隔地插入n-1个分点，将其等分成n个小区间[xi-1，xi](i=1，2，…，n)，小区间的长度Δxi=xi-xi-1；
第二步：近似代替，“以直代曲”.用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值.
第三步：求和.将n个小矩形的面积进行求和得Sn.
第四步：取极限.当n→∞时，Sn→S，S即为所求.【变式训练】求由直线x=1，x=2，y=0及曲线 围成的图形的面积S.
【解析】(1)分割
在区间[1，2]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间：[1， ]，[ ]，…，[ ]，
记第i个区间为[ ](i=1，2，…，n)，其长度为Δx=分别过上述n-1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小区边梯形面积的和为(2)近似代替
记f(x)= .当n很大，即Δx很小时，在区间[ ]上，可以认为f(x)= 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f( )．
从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[ ]上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′=f( )
= (i=1，2，…，n)．(3)求和
小曲边梯形的面积和
从而得到S的近似值S≈Sn=(4)取极限
分别将区间[1，2]等分成8，16，20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有
所以由直线x=1，x=2，y=0及曲线 围成的图形的面积S
为【误区警示】解答此类题目易错点是：(1)求区间长度.(2)第i个区间的端点值.(3)忘记取极限.【补偿训练】由直线x=1，y=0，x=0和曲线y=x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( )
【解析】选D.类型二 变速直线运动路程的求法
【典例2】 (1)已知某物体运动的速度为v=t，t∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值为________.
(2)汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t的路程s=vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度v(t)=-t2+5(单位：km/h)，问它在0≤t≤2(单位：h)这段时间内的路程S(单位：km)是多少？【解题探究】1.题(1)中每个区间上围成的图形是什么图形？其面积如何求？
2.题(2)中求变速直线运动物体的路程，需要通过几步解决？
【探究提示】1.梯形，其面积用对应的矩形面积近似代替计算，求得近似值.
2.分割、近似代替、求和、取极限四个步骤.【自主解答】(1)分割后的区间为[0，1]，[1，2]，[2，3]，…，[9，10]，每个区间上的面积分别为s1=1×1=1，s2=2×1=2，…，s10=10×1=10.
故路程的近似值为
答案：55(2)①分割
在区间[0，2]上等间隔地插入n-1个点，将区间等分成n个小区间：
记第i个区间为[ ](i=1，2，…，n)，
其长度为
把汽车在上述时间段内行驶的路程分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，显然，②近似代替
当n很大，即Δt很小时，在区间[ ]上，函数v(t)=
-t2+5的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值 ．在每一个小时间段内“以匀速代变速”，则有ΔSi≈ΔS′i= =
= (i=1，2，…，n) (i)③求和
由(i)得，
从而得到路程S的近似值，
S≈Sn=④取极限
可以看到，当n趋向于无穷大，即Δt趋向于0时，
趋向于S，从而有..【延伸探究】在本例题(1)中，如果取每个小区间左端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值为多少？
【解析】每个区间上的面积分别为s1=0×1=0，
s2=1×1=1，…，s10=9×1=9，
故路程的近似值为【方法技巧】求变速直线运动路程的方法
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.【变式训练】已知一质点的运动速度为v(t)=6t2+4(单位：m/s)，求质点开始运动后5 s内通过的路程.
【解析】(1)分割
在时间区间[0，5]上等间隔地插入n-1个点，将区间等分成n个小区间[0， ]，[ ]，…，[ ]，…，[ ，5]，
其中，第i(1≤i≤n)个小区间为[ ]，
其区间长度为
每个小时间段内的路程记为s1，s2，…，sn.(2)近似代替
根据题意可得第i(1≤i≤n)个小时间段内的路程为
(3)求和
每个小时间段内的路程之和为..(4)取极限
当n→∞时，Δs的极限值就是所求质点运动的路程，
即质点运动的路程为270 m.【补偿训练】求物体自由落体的下落距离：已知自由落体的运动速度v=gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
【解题指南】 分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限【解析】(1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．
把时间[0，t]分成n个小区间[ ](i=1，2，…，n)，
小区间长度 ，在各小区间物体下落的距离记作
Δsi(i=1，2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变
速运动的路程．
在[ ]上任取一时刻ξi(i=1，2，…，n)，可取ξi使
v(ξi)= 近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个
小区间上自由落体Δt= 内所经过的距离可近似表示为Δsi≈
(i=1，2，…，n)．(3)求和：
(4)取极限：
即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为 gt2. 【易错误区】因计算方法掌握不准导致曲边梯形面积计算错误
【典例】由抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为________.【解析】如图，因为y=x2为偶函数，图象关
于y轴对称，所以所求图形的面积应为y=x2
(x≥0)与直线x=0，y=4所围成的图形面积
S阴影的2倍，下面求S阴影.
y=x2，
由 y=4，得A点坐标为(2，4)，先求由直线x=0，x=2，y=0
x≥0
和曲线y=x2围成的图形的面积.(1)分割
将区间[0，2]n 等分，
则Δx= ，取ξi= (i=1，2，…，n).
(2)近似代替、求和.(3)取极限
所以S阴影= ，所以2S阴影=
即抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为
答案：【常见误区】【防范措施】
1.准确理解曲边梯形的各边
一般地，曲边梯形的三条边为直线段x=a，x=b，y=0，第四条边为曲线段y=f(x)，这是运用分割、近似代替、求和、取极限求曲边梯形面积的标准位置图形.如本例中，由直线x=0，x=2，y=0和曲线y=x2围成的图形.2.间接法求阴影部分的面积
对于不是标准位置的曲边梯形的面积，通常运用间接法转化为求标准位置的曲边梯形的面积，如本例中的对称思想与间接求面积法是常用的解题方法.注意曲边梯形的特殊情形是曲边三角形，求面积时解题过程基本相同.【类题试解】已知函数y=x2，y= 的图象交于O，A两点，求图中阴影部分的面积. 【解析】函数y=x2，y= 的图象交于O(0，0)，A(1，1)两
点，利用分割、近似代替、求和、取极限的方法步骤，可求得
由抛物线y=x2与直线y=0，x=1所围成的曲边三角形的面积
S= ，由于曲线y=x2，y= 关于直线y=x对称，所以曲线y=
与直线x=0，y=1所围成的曲边三角形的面积也等于 ，所
以图中阴影部分的面积为