1.5.3 定积分的概念 课件3

课件43张PPT。1.5.3
定积分的概念1.定积分的概念与几何意义
(1)定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a=x02，…，n)，作和式 =___________，当n→∞时，上述和式无限接近某个_____，这个_____叫做函
数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作_______，即 f(x)dx=
____________，
这里，a与b分别叫做积分下限与_________，区间[a，b]叫做
积分区间，函数f(x)叫做_________，x叫做_________，f(x)dx
叫做被积式.常数常数积分上限被积函数积分变量(2)定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数连续且恒有
________，那么定积分 f(x)dx表示由直线x=a，x=b(a____和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部
分的面积).f(x)≥0y=02.定积分的性质
(1) kf(x)dx= ________(k为常数).
(2) [f1(x)±f2(x)]dx=___________________.
(3) f(x)dx= f(x)dx+ ________(其中a＜c＜b).1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) f(x)dx= f(t)dt.( )
(2) f(x)dx的值一定是一个正数.( )
(3) (x2+2x)dx= x2dx+ 2xdx.( )【解析】1.(1)正确.由定积分的定义知 f(x)dx= f(t)dt.
(2)错误.当f(x)<0时，定积分 f(x)dx等于图形面积的相反数，可以是负值.
(3)正确.由定积分的性质(2)，在公共的积分区间上，两个函数的和函数的定积分等于两个函数的定积分的和.
答案：(1)√ (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)由y=0，y=cos x，x=0，x= 围成的图形的面积用定积分的形式表示为________.
(2) f(x)dx= f(x)dx+_______.
(3) 2xdx_____ 2xdx.(填“＜”“=”或“＞”).【解析】(1)由定积分的定义知y=0，y=cos x，x=0，x= 围成的图形的面积S= cos xdx.
答案： cos xdx
(2)由定积分的几何意义知，
f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx.
答案： f(x)dx
(3)由定积分的几何意义知，
2xdx＜ 2xdx.
答案：＜【要点探究】
知识点1 定积分的概念与几何意义
1.对定积分概念与几何意义的三点说明
(1)定积分的概念是对“分割、近似代替、求和、取极限”这四个步骤的高度概括，其中包含着重要的数学思想方法——“以直代曲”，只有理解了定积分的定义过程，才能掌握定积分的计算与应用.(2)定积分 f(x)dx 是一个常数——实数，一般情况下，被积
函数y=f(x)的图象可以在x 轴的上方，也可以在x 轴的下方，
在积分区间[a，b]上，只有y=f(x)≥0(图象不在x 轴的下方)
时， f(x)dx才等于曲边梯形的面积，也就是说，在积分区间
[a，b]上，当y=f(x)<0(图象在x 轴的下方时， f(x)dx<0，
- f(x)dx等于曲边梯形的面积，这是对定积分的几何意义的
全面理解.(3)对于具有公共区间[a，b]上的两个函数，若上界函数为f1(x)，下界函数为f2(x)，则直线x=a，x=b 与曲线y=f1(x)，y=f2(x)围成平面图形的面积为S= [f1(x)-f2(x)]dx.2.利用定积分的几何意义求定积分的关注点
(1)当f(x)≥0时， f(x)dx等于由直线x=a，x=b，y=0与曲线y=f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义.
(2)计算 f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲边梯形的三条直边x=a，x=b，y=0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S而得到定积分的值：
当f(x)≥0时， f(x)dx=S；
当f(x)<0时， f(x)dx=-S.【微思考】
(1)不规则的图形如何求面积？
提示：常用分割法，将其分割为规则图形，再求面积.
(2)定积分是否一定表示图形面积？说明理由.
提示：定积分 f(x)dx不一定表示面积，因为 f(x)dx可能为负值，此时面积为- f(x)dx.【即时练】
1. xdx的值为(　　)
A.1　　　B.　　　C.2　　　D.-2
2.直线y=0，x=1，x=2，曲线y= 围成的曲边梯形的面积用定积分表示为______.【解析】1.选C.由定积分的几何意义知： xdx等于直线x=0，
x=2，y=0，y=x围成的三角形面积，S= ×2×2=2，所以
xdx=2.
2.由直线y=0，x=1，x=2，曲线y= 围成曲边梯形可知，积分
区间为[1，2]，被积函数为y= ，所以曲边梯形的面积用
定积分表示为
答案：知识点2 定积分的性质
1.对定积分的性质的说明
定积分的性质(1)，(2)称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为：
① [f1(x)±f2(x)±…±fm(x)]dx
= f1(x)dx± f2(x)dx±…± fm(x)dx(m∈N*).
② f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx+…+ f(x)dx(a…(1)分段函数求定积分：分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加.
(2)奇、偶函数在区间[a，b]上的定积分：
①若奇函数y=f(x)的图象在[-a，a]上连续，则 f(x)dx=0；
②若偶函数y=g(x)的图象在[-a，a]上连续，则 g(x)dx=
2 g(x)dx.【微思考】
(1)定积分 (x2+x+1)dx与 x2dx， (x+1)dx有什么关系？
提示： (x2+x+1)dx= x2dx+ (x+1)dx.
(2)定积分 (3x+1)dx与 (3x+1)dx， (3x+1)dx有何关系？
提示： (3x+1)dx= (3x+1)dx+ (3x+1)dx.【即时练】
1.已知 f(x)dx=8，则(　　)
A. f(x)dx=4
B. f(x)dx=4
C. f(x)dx+ f(x)dx=8
D.以上答案都不对
2.若 f(x)dx=1， g(x)dx=5，则 [f(x)+g(x)]dx=______.【解析】1.选C.由定积分的运算性质知：
f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx=8.
2.由定积分的运算性质知： [f(x)+g(x)]dx= f(x)dx+ g(x)dx
=1+5=6.
答案：6【题型示范】
类型一 利用定义求定积分
【典例1】(1) 可化为( )
A. ln2xdx B.2 ln xdx
C.2 ln(x+1)dx D. ln2(x+1)dx
(2)利用定积分的定义求 (x2+2)dx的值.【解题探究】
1.在题(1)中， 与 有何关系？
2.定积分与曲边梯形的面积求解步骤有什么关系？
【探究提示】1.由对数运算法则知，
2.定积分概括了求曲边梯形面积的四个步骤
(1)分割.(2)近似代替.(3)求和.(4)取极限.【自主解答】
(1)选B.因为
=
=(2)把区间[0，1]分成n等份，分别为[0， ]，[ ]，
…，[ ]，…，[ ]，
小区间的长度为Δx= ，
取ξi= (i=1，2，…，n)，
作和
因为Δx= ，当n→∞时，Δx→0，所以 (x2+2)dx=【延伸探究】若题(2)的积分区间变为[-1，1]，其余不变，如何计算定积分 (x2+2)dx？
【解析】由于在[-1，1]上曲线y=x2+2关于y轴对称，根据定积分的意义， (x2+2)dx=2 (x2+2)dx=【方法技巧】利用定义求定积分的步骤【变式训练】利用定积分的定义计算 (-x2+2x)dx的值.
【解析】令f(x)=-x2+2x.
(1)分割
在区间[1，2]上等间隔地插入n-1个分点，把区间[1，2]等分为n个小区间[1+ ， ](i=1，2，…，n)，每个小区间的长度为(2)近似代替、作和
取ξi=1+ (i=1，2，…，n)，则
Sn=
= [(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(2n)2]+ [(n+1)+(n+2)
+(n+3)+…+2n]
=
=...(3)取极限【补偿训练】计算定积分 (x+1)dx.
【解析】所求定积分是x=1，x=2，y=0与y=x+1所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为
即：类型二 利用定积分的性质计算定积分
【典例2】(1)f(x)= 则 f(x)dx=(　　)
A. (x+1)dx
B. 2x2dx
C. (x+1)dx+ 2x2dx
D. 2xdx+ (x+1)dx(2)已知 f(x)dx=8，则 [f(x)-2x]dx=____________.
(3)已知 xdx= ， x2dx= ，求下列定积分的值：
① (2x+x2)dx；
② (2x2-x+1)dx.【解题探究】1.题(1)中求 f(x)dx时需分几段？
2.在题(2)中 [f(x)-2x]dx与 f(x)dx， (-2x)dx有何等量关系？
3.在题(3)②中如何用已知定积分来表示所求积分值？
【探究提示】1.需分两段求解，一是 (x+1)dx，另一个是
2x2dx.
2. [f(x)-2x]dx= f(x)dx+ (-2x)dx.
3. (2x2-x+1)dx=2 x2dx- xdx+ 1dx.【自主解答】(1)选C.由定积分的几何性质得：
f(x)dx= (x+1)dx+ 2x2dx
(2)由定积分的性质得：
[f(x)-2x]dx= f(x)dx+ (-2x)dx= f(x)dx-2 xdx，
因为 f(x)dx=8， xdx= ×2×2=2，
所以 [f(x)-2x]dx= f(x)dx-2 xdx
=8-2×2=4.
答案：4(3)① (2x+x2)dx=2 xdx+ x2dx=
② (2x2-x+1)dx= 2x2dx- xdx+1 dx，
因为已知 xdx= ， x2dx= ，
又由定积分的几何意义知： 1dx等于直线x=0，x=e，y=0，y=1所围成的图形的面积，
所以 1dx=1×e=e，
故 (2x2-x+1)dx=【方法技巧】利用定积分的性质计算定积分的步骤
(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算.
(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算.【变式训练】 求 f(x)dx，其中 f(x)=
且 (2x-1)dx=-2， e-xdx=1-e-1.
【解题指南】利用定积分的性质，分段求定积分后再相加.【解析】对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即
f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx
= (2x-1)dx+ e-xdx
=-2+1-e-1
=-(e-1+1).【补偿训练】已知an= (2x+1)dx，数列{ }前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n-8，则Snbn的最小值为_____.
【解析】因为 (2x+1)dx=n2+n.
所以
所以数列{ }的前n项和为Sn=
=则Snbn=
因为函数y=x+ (x＞0)
在(0，3)上是减函数，在(3，+∞)上是增函数，所以x=3时y有最小值6，
故Snbn=n+1+ -10≥6-10=-4，
所以Snbn的最小值为-4.
答案：-4