1.6 微积分基本定理 课件2
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课件39张PPT。1.6
微积分基本定理1.微积分基本定理
(1)内容：如果f(x)是区间[a，b]上的_____函数，并且F′(x)=f(x)，那么 f(x)dx=__________.
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做___________________.
(2)表示：为了方便，常常把F(b)-F(a)记成_____，
即 f(x)dx=_____=__________.连续F(b)-F(a)牛顿—莱布尼茨公式F(b)-F(a)2.定积分的符号
由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正
值也可能取_____，还可能是__.
(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取___值，
且等于曲边梯形的_____.(如图1)
(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取___值，
且等于曲边梯形的_____________.(如图2)负值0正面积负面积的相反数(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯
形面积时，定积分的值为__，且等于位于x轴上方的曲边梯形
面积_____位于x轴下方的曲边梯形面积.(如图3)0减去1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.( )
(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )【解析】(1)正确.由微积分基本定理知，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.
(2)正确.应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.
(3)正确.应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.否则所求积分值错误.
答案：(1)√ (2)√ (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1) sinxdx=__________.
(2) 3x2dx__________.
(3) (2x-1)dx=2，则a=__________.【解析】2.(1) sin xdx= -cos x = -[cos 1-cos(-1)]=0.
答案：0
(2) 3x2dx=x3 =13-(-1)3=2.
答案：2
(3) (2x-1)dx=(x2-x) =a2-a=2，
解得a=2或a= -1(不合题意舍去)，
故a=2.
答案：2【要点探究】
知识点 微积分基本定理
1.应用微积分基本定理求定积分的注意事项
(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量.(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x)再计算F(b)-F(a).
(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分.2.常见函数的定积分公式
(1) Cdx=Cx (C为常数).
(2) xndx= xn+1 (n≠-1).
(3) sin xdx=-cos x .
(4) cos xdx=sin x .
(5) dx=ln x (b＞a＞0).
(6) exdx=ex .
(7) axdx= (a＞0且a≠1).【微思考】
(1)如果 f(x)dx= g(x)dx，那么是否一定有f(x)=g(x)？请举例说明.
提示：不一定，例如：当f(x)=2x，g(x)=3x2时， 2xdx=
3x2dx，但f(x)≠g(x).
(2)“因为被积函数f(x)的原函数不唯一，所以 f(x)dx也不唯一.”这种说法正确吗？为什么？
提示：这种说法不正确，虽然被积函数的原函数不唯一，但积分值是原函数在区间端点值的差，差值是唯一确定的.即积分值是确定的.【即时练】
1.若a= (x-2)dx，则被积函数的原函数为( )
A.f(x)=x-2 B.f(x)= x-2+C
C.f(x)= x2-2x+C D.f(x)=x2-2x2.下列积分值等于1的是( )
A. xdx B. (x+1)dx
C. dx D. 1dx【解析】1. 选C.因为( x2-2x+C′)= x-2，
所以 (x-2)dx中被积函数的原函数为f(x)= x2-2x+C.
2.选D. xdx= x2 = ， (x+1)dx=( x2+x) =
dx= x = ， 1dx=x =1. 【题型示范】
类型一 定积分求法
【典例1】 (1)定积分 (2x+ex)dx的值为( )
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
(2)f(x)= 求 f(x)dx.【解题探究】1.题(1)中的被积函数的原函数是什么？
2.题(2)中求 f(x)dx需要分成哪几段？
【探究提示】1.原函数为f(x)=x2+ex.
2.需要分成两段，一段是 (1+2x)dx，另一段是 x2dx.【自主解答】(1)选C. (2x+ex)dx=(x2+ex) =1+e-1
=e.
(2) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx
= (1+2x)dx+ x2dx=(x+x2) + x3
=1+1+ (8-1)=【方法技巧】
1.由微积分基本定理求定积分的步骤
当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下.
第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；
第二步：计算函数的增量F(b)-F(a).2.分段函数的定积分的求法
(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算.
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算.【变式训练】1. (ex+2x)dx等于( )
A.1 B.e-1 C.e D.e+1
2.计算定积分 (x2+sin x)dx=______.
【解析】1.选C.因为被积函数为ex+2x的原函数为ex+x2，
所以 (ex+2x)dx=(ex+x2) =(e1+12)-(e0+0)=e.
2. (x2+sin x)dx=( x3-cos x) =
答案：【补偿训练】 (x+cos x)dx=______.
【解析】因为( x2+sin x)′=x+cos x，
所以 (x+cosx)dx，
=( x2+sin x)
=2.
答案：2类型二 微积分基本定理的综合应用
【典例2】(1)已知x∈(0，1]，f(x)= (1-2x+2t)dt，则f(x)的值域是_________.
(2)已知 [(3ax+1)(x+b)]dx=0，a，b∈R，试求ab的取值范围.【解题探究】1.题(1)中的被积函数和原函数分别是什么？
2.如何处理含有参数的定积分问题？
【探究提示】1.被积函数为g(t)=2t+1-2x，原函数为G(t)=t2+(1-2x)t.
2.将参数看成常数求定积分，然后根据题意进行转化，在本题中可将问题转化为不等式问题或方程根的问题.【自主解答】(1) (1-2x+2t)dt=[(1-2x)t+t2] =2-2x即f(x)=-2x+2，
因为x∈(0，1]，所以f(1)≤f(x)即0≤f(x)<2
所以函数f(x)的值域是[0，2).
答案：[0，2)(2) (3ax+1)(x+b)]dx= [3ax2+(3ab+1)x+b]dx
=[ax3+ (3ab+1)x2+bx]
=a+ (3ab+1)+b=0，
即3ab+2(a+b)+1=0.
方法一：由于(a+b)2=a2+b2+2ab≥4ab，
所以( )2≥4ab，即9(ab)2-10ab+1≥0，
得(ab-1)(9ab-1)≥0，解得ab≤ 或ab≥1.
所以ab的取值范围是(-∞， ]∪[1，+∞). 方法二：设ab=t，得a+b= ，故a，b为方程x2+ x
+t=0的两个实数根，
所以Δ= -4t≥0，整理，得9t2-10t+1≥0，
即(t-1)(9t-1)≥0，解得t≤ 或t≥1.
所以ab的取值范围是(-∞， ]∪[1，+∞).【延伸探究】在本例题(1)中，如果已知条件改为f(t)= (1-2x+2t)dx，则f(t)=________.
【解析】 (1-2x+2t)dx=[(1+2t)x-x2] =2t.
答案：2t【方法技巧】含有参数的定积分问题的处理办法与注意点
(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.【变式训练】设f(x)= 若f(f(1))=1，则a=_________．
【解题指南】求出x≤0时， 3t2dt的值，再由f(f(1))=1求a的值.
【解析】因为x=1＞0，所以f(1)=lg 1=0，
又当x≤0，因为f(x)=x+ 3t2dt=x+a3，
所以f(0)=a3，所以a3=1，a=1．
答案：1【补偿训练】求使 (x2+cx+c)2dx最小时c的值.
【解析】令y= (x2+cx+c)2dx，则y= (x4+2cx3+c2x2+2cx2+
2c2x+c2)dx.
=
因为 ＞0.
所以当c=- 时， (x2+cx+c)2dx最小.【巧思妙解】利用函数奇偶性巧解定积分
【典例】已知函数f(x)= 求 f(x)dx的值.【教你审题】【常规解法】 f(x)dx= (x2-2x+1)dx+ (x2+2x+1)dx
=( x3-x2+x) +( x3+x2+x)
= ×23-22+2+{0-[ ×(-2)3+(-2)2+(-2)]}
=【巧妙解法】因为f(x)为偶函数，
所以 f(x)dx=2 (x2-2x+1)dx
=2×( x3-x2+x) =
=【方法对比】
常规方法与巧妙解法相比计算多出一部分，增大了计算量和出错的概率，在求对称区间上的定积分时，应该首先考虑函数性质与积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便【教你一招】
奇、偶函数在区间[-a，a]上的定积分
(1)若奇函数y=f(x)的图象在[-a，a]上连续，则 f(x)dx=0.
(2)若偶函数y=g(x)的图象在[-a，a]上连续，则 g(x)dx
=2 g(x)dx，如本例为偶函数，可用该结论计算.【类题试解】求下列函数的定积分：
(1) x3dx. (2) |x|dx.
【常规解法】(1) x3dx= x4 = [14-(-1)4]=0.
(2) |x|dx= xdx+ (-x)dx= x2 - x2 =【巧妙解法】(1)因为f(x)=x3(-1≤x≤1)是奇函数，所以
x3dx=0.
(2)因为f(x)=|x|(-3≤x≤3)是偶函数，所以 |x|dx=
2 xdx=2× x2 =9.
微积分基本定理1.微积分基本定理
(1)内容：如果f(x)是区间[a，b]上的_____函数，并且F′(x)=f(x)，那么 f(x)dx=__________.
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做___________________.
(2)表示：为了方便，常常把F(b)-F(a)记成_____，
即 f(x)dx=_____=__________.连续F(b)-F(a)牛顿—莱布尼茨公式F(b)-F(a)2.定积分的符号
由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正
值也可能取_____，还可能是__.
(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取___值，
且等于曲边梯形的_____.(如图1)
(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取___值，
且等于曲边梯形的_____________.(如图2)负值0正面积负面积的相反数(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯
形面积时，定积分的值为__，且等于位于x轴上方的曲边梯形
面积_____位于x轴下方的曲边梯形面积.(如图3)0减去1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.( )
(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )【解析】(1)正确.由微积分基本定理知，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.
(2)正确.应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.
(3)正确.应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.否则所求积分值错误.
答案：(1)√ (2)√ (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1) sinxdx=__________.
(2) 3x2dx__________.
(3) (2x-1)dx=2，则a=__________.【解析】2.(1) sin xdx= -cos x = -[cos 1-cos(-1)]=0.
答案：0
(2) 3x2dx=x3 =13-(-1)3=2.
答案：2
(3) (2x-1)dx=(x2-x) =a2-a=2，
解得a=2或a= -1(不合题意舍去)，
故a=2.
答案：2【要点探究】
知识点 微积分基本定理
1.应用微积分基本定理求定积分的注意事项
(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量.(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x)再计算F(b)-F(a).
(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分.2.常见函数的定积分公式
(1) Cdx=Cx (C为常数).
(2) xndx= xn+1 (n≠-1).
(3) sin xdx=-cos x .
(4) cos xdx=sin x .
(5) dx=ln x (b＞a＞0).
(6) exdx=ex .
(7) axdx= (a＞0且a≠1).【微思考】
(1)如果 f(x)dx= g(x)dx，那么是否一定有f(x)=g(x)？请举例说明.
提示：不一定，例如：当f(x)=2x，g(x)=3x2时， 2xdx=
3x2dx，但f(x)≠g(x).
(2)“因为被积函数f(x)的原函数不唯一，所以 f(x)dx也不唯一.”这种说法正确吗？为什么？
提示：这种说法不正确，虽然被积函数的原函数不唯一，但积分值是原函数在区间端点值的差，差值是唯一确定的.即积分值是确定的.【即时练】
1.若a= (x-2)dx，则被积函数的原函数为( )
A.f(x)=x-2 B.f(x)= x-2+C
C.f(x)= x2-2x+C D.f(x)=x2-2x2.下列积分值等于1的是( )
A. xdx B. (x+1)dx
C. dx D. 1dx【解析】1. 选C.因为( x2-2x+C′)= x-2，
所以 (x-2)dx中被积函数的原函数为f(x)= x2-2x+C.
2.选D. xdx= x2 = ， (x+1)dx=( x2+x) =
dx= x = ， 1dx=x =1. 【题型示范】
类型一 定积分求法
【典例1】 (1)定积分 (2x+ex)dx的值为( )
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
(2)f(x)= 求 f(x)dx.【解题探究】1.题(1)中的被积函数的原函数是什么？
2.题(2)中求 f(x)dx需要分成哪几段？
【探究提示】1.原函数为f(x)=x2+ex.
2.需要分成两段，一段是 (1+2x)dx，另一段是 x2dx.【自主解答】(1)选C. (2x+ex)dx=(x2+ex) =1+e-1
=e.
(2) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx
= (1+2x)dx+ x2dx=(x+x2) + x3
=1+1+ (8-1)=【方法技巧】
1.由微积分基本定理求定积分的步骤
当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下.
第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；
第二步：计算函数的增量F(b)-F(a).2.分段函数的定积分的求法
(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算.
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算.【变式训练】1. (ex+2x)dx等于( )
A.1 B.e-1 C.e D.e+1
2.计算定积分 (x2+sin x)dx=______.
【解析】1.选C.因为被积函数为ex+2x的原函数为ex+x2，
所以 (ex+2x)dx=(ex+x2) =(e1+12)-(e0+0)=e.
2. (x2+sin x)dx=( x3-cos x) =
答案：【补偿训练】 (x+cos x)dx=______.
【解析】因为( x2+sin x)′=x+cos x，
所以 (x+cosx)dx，
=( x2+sin x)
=2.
答案：2类型二 微积分基本定理的综合应用
【典例2】(1)已知x∈(0，1]，f(x)= (1-2x+2t)dt，则f(x)的值域是_________.
(2)已知 [(3ax+1)(x+b)]dx=0，a，b∈R，试求ab的取值范围.【解题探究】1.题(1)中的被积函数和原函数分别是什么？
2.如何处理含有参数的定积分问题？
【探究提示】1.被积函数为g(t)=2t+1-2x，原函数为G(t)=t2+(1-2x)t.
2.将参数看成常数求定积分，然后根据题意进行转化，在本题中可将问题转化为不等式问题或方程根的问题.【自主解答】(1) (1-2x+2t)dt=[(1-2x)t+t2] =2-2x即f(x)=-2x+2，
因为x∈(0，1]，所以f(1)≤f(x)
所以函数f(x)的值域是[0，2).
答案：[0，2)(2) (3ax+1)(x+b)]dx= [3ax2+(3ab+1)x+b]dx
=[ax3+ (3ab+1)x2+bx]
=a+ (3ab+1)+b=0，
即3ab+2(a+b)+1=0.
方法一：由于(a+b)2=a2+b2+2ab≥4ab，
所以( )2≥4ab，即9(ab)2-10ab+1≥0，
得(ab-1)(9ab-1)≥0，解得ab≤ 或ab≥1.
所以ab的取值范围是(-∞， ]∪[1，+∞). 方法二：设ab=t，得a+b= ，故a，b为方程x2+ x
+t=0的两个实数根，
所以Δ= -4t≥0，整理，得9t2-10t+1≥0，
即(t-1)(9t-1)≥0，解得t≤ 或t≥1.
所以ab的取值范围是(-∞， ]∪[1，+∞).【延伸探究】在本例题(1)中，如果已知条件改为f(t)= (1-2x+2t)dx，则f(t)=________.
【解析】 (1-2x+2t)dx=[(1+2t)x-x2] =2t.
答案：2t【方法技巧】含有参数的定积分问题的处理办法与注意点
(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.【变式训练】设f(x)= 若f(f(1))=1，则a=_________．
【解题指南】求出x≤0时， 3t2dt的值，再由f(f(1))=1求a的值.
【解析】因为x=1＞0，所以f(1)=lg 1=0，
又当x≤0，因为f(x)=x+ 3t2dt=x+a3，
所以f(0)=a3，所以a3=1，a=1．
答案：1【补偿训练】求使 (x2+cx+c)2dx最小时c的值.
【解析】令y= (x2+cx+c)2dx，则y= (x4+2cx3+c2x2+2cx2+
2c2x+c2)dx.
=
因为 ＞0.
所以当c=- 时， (x2+cx+c)2dx最小.【巧思妙解】利用函数奇偶性巧解定积分
【典例】已知函数f(x)= 求 f(x)dx的值.【教你审题】【常规解法】 f(x)dx= (x2-2x+1)dx+ (x2+2x+1)dx
=( x3-x2+x) +( x3+x2+x)
= ×23-22+2+{0-[ ×(-2)3+(-2)2+(-2)]}
=【巧妙解法】因为f(x)为偶函数，
所以 f(x)dx=2 (x2-2x+1)dx
=2×( x3-x2+x) =
=【方法对比】
常规方法与巧妙解法相比计算多出一部分，增大了计算量和出错的概率，在求对称区间上的定积分时，应该首先考虑函数性质与积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便【教你一招】
奇、偶函数在区间[-a，a]上的定积分
(1)若奇函数y=f(x)的图象在[-a，a]上连续，则 f(x)dx=0.
(2)若偶函数y=g(x)的图象在[-a，a]上连续，则 g(x)dx
=2 g(x)dx，如本例为偶函数，可用该结论计算.【类题试解】求下列函数的定积分：
(1) x3dx. (2) |x|dx.
【常规解法】(1) x3dx= x4 = [14-(-1)4]=0.
(2) |x|dx= xdx+ (-x)dx= x2 - x2 =【巧妙解法】(1)因为f(x)=x3(-1≤x≤1)是奇函数，所以
x3dx=0.
(2)因为f(x)=|x|(-3≤x≤3)是偶函数，所以 |x|dx=
2 xdx=2× x2 =9.