1.1.1和1.1.2 变化率问题、导数的概念 同步练习（含答案）

1.1.1和1.1.2
变化率问题、导数的概念
同步练习
基础巩固练习
一 选择题(每小题3分,共18分)
1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(
)
A.0.40
B.0.41
C.0.43
D.0.44
【解析】选B.由函数值的增量公式Δy=f(x0+Δx)-f(x0),得Δy=f(2+0.1)-
f(2)=(2+0.1)2+1-(22+1)=0.41.
2.一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间内相应的平均速度是
(
)
A.3Δt+6
B.-3Δt+6
C.3Δt-6
D.-3Δt-6
【解析】选D.平均速度===-3Δt-6,故选D.
3.一直线运动的物体,从时间t到t+Δt时,物体的位移为Δs,那么为
(
)
A.从时间t到t+Δt时,物体的平均速度
B.时间t时该物体的瞬时速度
C.当时间为Δt时该物体的速度
D.从时间t到t+Δt时位移的平均变化率
【解析】选B.根据导数的意义解答.=s′,即为时间t时该物体的瞬时速度.
4.已知函数f=2x2-4的图象上一点及附近一点,则等于(
)
A.4
B.4x
C.4+2Δx
D.4+2
【解析】选C.Δy=2(1+Δx)2-4-2×12+4
=4Δx+2(Δx)2,
所以==4+2Δx.
5.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是(
)
A.k1B.k1>k2
C.k1=k2
D.无法确定
【解析】选D.因为k1==2x0+Δx,k2==2x0-Δx,
又Δx可正可负且不为零,所以k1,k2的大小关系不确定.
【误区警示】本题易因对平均变化率的定义式理解不透而导致错选C.
6.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(
)
A.f′(x)=a
B.f′(x)=b
C.f′(x0)=a
D.f′(x0)=b
【解析】选C.因为f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),所以=a+bΔx.
所以f′(x0)==(a+bΔx)=a.
二 填空题(每小题4分,共12分)
7.
若f′(x0)=1,则=________.
【解题指南】根据导数的定义式,把原式进行一系列变形,凑定义式的结构形式.
【解析】
=-=-f′(x0)=-×1=-.
答案:-
【变式训练】f′(x0)=,f(3)=2,f′(3)=-2,则=__________.
【解析】
=
=
=-3+
=-3f′(3)+
=-3f′(3)+2=8.
答案:8
8.函数y=3x2在x=1处的导数为________.
【解析】方法一:Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+3(Δx)2,所以=6+3Δx,故=6.
方法二:利用极限求解,y′|x=1=
==3(x+1)=6.
答案:6
9.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3t2,则物体的初速度是________.
【解析】平均速度==2-3t,当t趋向0时,平均速度趋向2,即初速度为2.
答案:2
【变式训练】已知一物体的运动方程是s=6t2-5t+7,则其在t=________时刻的速度为7.
【解析】=(6Δt+12t-5)
=12t-5=7,t=1.
答案:1
三 解答题(每小题10分,共20分)
10.若函数f(x)=-x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于-1,求Δx的范围.
【解析】因为函数f(x)在[2,2+Δx]上的平均变化率为:=
=
==-3-Δx,
所以由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.
又因为Δx>0,即Δx的取值范围是(0,+∞).
11.求函数y=x2+ax+b(a,b为常数)的导数.
【解析】因为Δy=[(x+Δx)2+a(x+Δx)+b]-(x2+ax+b)=2x·Δx+(Δx)2+a·Δx=(2x+a)·Δx+(Δx)2,故==(2x+a)+Δx,=(2x+a+Δx)=2x+a,所以y′=2x+a.
能力提升训练
一 选择题(每小题4分,共16分)
1.物体的运动方程是s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为(
)
A.t=1
B.t=2
C.t=3
D.t=4
【解题指南】先求瞬时变化率,然后令瞬时变化率为零,即得相应时刻.
【解析】选B.=(-4Δt-8t+16)=-8t+16,令-8t+16=0,得t=2.
2.将边长为8的正方形的边长增加Δa,则面积的增量ΔS为(
)
A.16(Δa)2
B.64
C.(Δa)2+8
D.16Δa+(Δa)2
【解析】选D.ΔS=S(8+Δa)-S(8)=(8+Δa)2-82=16Δa+(Δa)2.故选D.
3.一物体运动的方程是s=2t2,则从2s到(2+d)s这段时间内位移的增量为(
)
A.8
B.8+2d
C.8d+2d2
D.4d+2d2
【解析】选C.Δs=2(2+d)2-2×22=8d+2d2.
4.在x=1附近取Δx=0.3,在四个函数①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=中平均变化率最大的是(
)
A.①
B.②
C.③
D.④
【解析】选C.根据定义判断,也可根据函数的增长趋势的快慢来判断.
二 填空题(每小题5分,共10分)
5.水经过吸管从容器甲中流向容器乙,ts后容器甲中水的体积V(t)=5×2-0.1t(单位:cm3),则第一个10s内V的平均变化率为________cm3/s.
【解析】第一个10s内V的平均变化率==-0.25(cm3/s).
答案:-0.25
6.当球半径r变化时,体积V关于r的瞬时变化率是________.
【解题指南】先求,再求瞬时变化率.
【解析】=
=4πr2+4πrΔr+π(Δr)2,
当Δr趋于0时,瞬时变化率为4πr2.
答案:4πr2
三 解答题(每小题12分,共24分)
7.求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取Δx都为,哪一点附近的平均变化率最大
【解析】在x=1附近的平均变化率为k1==2+Δx;在x=2附近的平均变化率为k2==4+Δx;在x=3附近的平均变化率为k3==6+Δx.若Δx=,则k1=2+=,k2=4+=;k3=6+=,由于k1【举一反三】已知函数f(x)=x3+x,证明函数f(x)在任意区间[x,x+Δx]上的平均变化率都是正数.
【证明】=
=
=3x2+1+3xΔx+(Δx)2
=3x2+3Δx·x+(Δx)2+1
由于,方程3x2+3Δx·x+(Δx)2+1=0的判别式为(3Δx)2-4×3[(Δx)2+1]=-3(Δx)2-12<0,
则3x2+3Δx·x+(Δx)2+1>0对一切x∈R恒成立,所以>0,故f(x)在任意区间
[x,x+Δx]上的平均变化率都是正数.
【拓展延伸】
1.比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两不同点处的平均变化率.
(2)作差(作商),并对差式(商式)作合理变形,以便探讨差的符号(商与1的大小).
(3)下结论.
2.比较平均变化率的意义
平均变化率的大小可说明函数图象的陡峭程度.
8.某一运动物体,在x(s)时离出发点的距离(单位:m)是f(x)=x3+x2+2x.
(1)求在第1s内的平均速度.
(2)求在1s末的瞬时速度.
(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14m/s
【解析】(1)物体在第1s内的平均变化率(即平均速度)为=m/s.
(2)=
=
=6+3Δx+(Δx)2.
当Δx→0时,→6,
所以物体在1s末的瞬时速度为6m/s.
(3)=
=
=2x2+2x+2+(Δx)2+2x·Δx+Δx.
当Δx→0时,→2x2+2x+2,
令2x2+2x+2=14,解得x=2s,
即经过2s该物体的运动速度达到14m/s.