1.1.2 导数的概念 同步练习2（含答案）

1.1.2
导数的概念
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为(　　)
A．6　　　
B．18　　　
C．54　　　
D．81
[答案]　B
[解析]　∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32
＝18Δt＋3(Δt)2∴＝18＋3Δt.
∴
＝
(18＋3Δt)＝18，故应选B.
2．已知f(x)＝x2－3x，则f
′(0)＝(　　)
A．Δx－3
B．(Δx)2－3Δx
C．－3
D．0
[答案]　C
[解析]　f
′(0)＝
＝
＝
(Δx－3)＝－3.故选C.
3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足
＝－1，则f
′
(0)＝(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
[答案]　B
[解析]　∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f
′(0)＝
＝
＝－1，
∴选B.
4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为(　　)
A．4＋4t0
B．0
C．8t0＋4
D．4t0＋4t
[答案]　C
[解析]　Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4(Δt)2＋4Δt＋8t0Δt，
＝4Δt＋4＋8t0，
＝
(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
5．已知f(x)＝，且f
′(m)＝－，则m的值等于(　　)
A．－4
B．2
C．－2
D．±2
[答案]　D
[解析]　f
′(x)＝
＝－，
于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
6．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为(　　)
A．米/秒
B．米/秒
C．8米/秒
D．米/秒
[答案]　B
[解析]　∵＝
＝
＝Δt＋8－.
∴
＝8－＝.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x＋，f
′(1)＝－2，则k＝________.
[答案]　3
[解析]　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)＋－1－k＝Δx－
＝1－
∵f
′(1)＝－2，∴
＝1－k＝－2，∴k＝3.
8．已知y＝，则y′|x＝1＝________.
[答案]　
[解析]　由题意知Δy＝－
＝－，
∴＝.
∴y′|x＝1＝
＝
＝.
9．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．
[答案]　相等
[解析]　v0＝
＝
＝
＝
＝v.
三、解答题
10．下面是利用导数的定义求函数f(x)＝在x＝2处的导数的解题过程：
因为Δy＝－＝－2，
＝，
所以f
′(2)＝
＝
＝0.
试分析解题过程是否正确，如不正确请指出错误，并加以纠正．
[解析]　解答过程有错误，最后一步不能直接得到0，因为分母为0时，无意义．
正解：因为Δy＝－＝－2，
＝
＝
＝.
所以f
′(2)＝
＝
＝.
能力拓展提升
一、选择题
11．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则瞬时速度为0m/s的时刻是(　　)
A．s
B．s
C．s
D．s
[答案]　A
[解析]　h′(t)＝－9.8t＋6.5，由h′(t)＝0得t＝，故选A.
12．设f(x)＝，则li
等于(　　)
A．－
B．
C．－
D．
[答案]　C
[解析]　li
＝li
＝－li
＝－.
[点评]　若令x－a＝Δx，则当x→a时，Δx→0，
∴
＝
＝
＝
＝－.
13．已知f
′(x0)＝a，则
的值为(　　)
A．－2a
B．2a
C．a
D．－a
[答案]　B
[解析]　∵f
′(x0)＝
＝a，
∴
＝
＝
＋
＝＋＝2a，故选B.
二、填空题
14．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．
[答案]　0
[解析]　∵Δy＝－
＝Δx－1＋＝，
∴＝.∴y′|x＝1＝li
＝0.
15．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______________________．
[答案]　
[解析]　∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
三、解答题
16．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
[解析]　位移公式为s＝at2，
∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2
∴＝at0＋aΔt，∴li
＝li
＝at0，
已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，
∴at0＝800m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
17．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
[解析]　(1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段[0，0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)
＝3Δt－(Δt)2，
＝＝3－Δt，
＝
(3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2，2＋Δt]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2，
＝＝－1－Δt，
＝
(－1－Δt)＝－1，
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
(3)当t∈[0，2]时，Δt＝2－0＝2.
Δs＝s(2)－s(0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2.
＝＝＝1.
∴在0到2之间，物体的平均速度为1.