1.1.3 导数的几何意义 同步练习2（含答案）

1.1.3
导数的几何意义
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．已知曲线y＝2x3上一点A(1，2)，则点A处的切线斜率等于(　　)
A．0　　　
B．2　　　
C．4　　　
D．6
[答案]　D
[解析]　Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6(Δx)＋6(Δx)2＋(Δx)3，
＝[(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故选D.
2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1
B．
C．－
D．－1
[答案]　A
[解析]　∵y′|x＝1＝
＝
＝
(2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
3．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为(　　)
A．1
B．
C．π
D．－
[答案]　B
[解析]　∵y′＝li
＝li[x2＋xΔx＋(Δx)2]＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为，故应选B.
4．设f
′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
[答案]　B
[解析]　由导数的几何意义知B正确，故应选B.
5．设f(x)为可导函数且满足
＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)
A．2
B．－1
C．1
D．－2
[答案]　B
[解析]　
＝
＝
＝f
′(1)＝－1.
6．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)
A．－9
B．－3
C．9
D．15
[答案]　C
[解析]　因为y′＝
＝
((Δx)2＋3xΔx＋3x2)＝3x2，所以切线的斜率k＝f
′(1)＝3，又因为切点为P(1，12)，故切线方程为3x－y＋9＝0，令x＝0，得y＝9.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f
′(2)＝________.
[答案]　12
[解析]　f
′(2)＝
＝
＝[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]
＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.
8．曲线y＝x3在点(3，27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．
[答案]　54
[解析]　因为f
′(3)＝li
＝27，
所以在点(3，27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)即y＝27x－54.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2，0)，(0，－54)．
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×2×54＝54.
9．若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线的方程为________．
[答案]　2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0
[解析]　由f(x)＝x－＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1，0)或(－1，0)．
∵f
′(x)＝li
＝li
＝1＋.
∴切线的斜率k＝1＋＝2.
∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．
即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.
三、解答题
10．求曲线y＝－上一点P处的切线方程．
[解析]　∴y′＝
＝
＝
＝－－
.
∴y′|x＝4＝－－＝－，
∴曲线在点P处的切线方程为：
y＋＝－(x－4)．
即5x＋16y＋8＝0.
能力拓展提升
一、选择题
11．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1，1)处的切线互相垂直，则为(　　)
A．　　
B．－　　
C．　　
D．－
[答案]　D
[解析]　由导数的定义可得y′＝3x2，
∴y＝x3在点P(1，1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，
由条件知，3×＝－1，∴＝－.
12．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f
′(1)的值是(　　)
A．
B．1
C．
D．2
[答案]　D
[解析]　∵(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，
∴1－2f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1.
又∵f
′(1)＝，∴f(1)＋2f
′(1)＝1＋2×＝2.故选D.
13．已知y＝f(x)的图象如图，则f
′(xA)与f
′(xB)的大小关系是(　　)
A．f
′(xA)>f
′(xB)
B．f
′(xA)′(xB)
C．f
′(xA)＝f
′(xB)
D．不能确定
[答案]　B
[解析]　由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f
′(xA)′(xB)，选B.
二、填空题
14．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则
＝__________________.
[答案]　－2
[解析]　由导数的概念和几何意义知，
＝f
′(1)＝kAB＝＝－2.
15．设f(x)＝f
′(1)＋，则f(4)＝________.
[答案]　
[解析]　f
′(1)＝
＝
＝
＝
＝，
∴f(x)＝＋，
∴f(4)＝＋＝.
三、解答题
16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程．
[解析]　(1)y′＝li
＝3x2－3.
则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率
k1＝f
′(1)＝0，
∴所求直线方程为y＝－2.
(2)设切点坐标为(x0，x－3x0)，
则直线l的斜率k2＝f
′(x0)＝3x－3，
∴直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)
又直线l过点P(1，－2)，
∴－2－
(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
∴x－3x0＋2＝(3x－3)(x0－1)，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1(舍去)或x0＝－.
故所求直线斜率k＝3x－3＝－，
于是：y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.
17．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析]　∵＝＝2x＋Δx，
∴y′＝li
＝li
(2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．
又∵切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，
即x－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，
∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是{a|a<2}．