1.2.1 基本初等函数的导数公式 同步练习2（含答案）

1.2.1
基本初等函数的导数公式
同步练习
一、选择题
1．下列结论中不正确的是(　　)
A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32
B．若y＝，则y′|x＝2＝－
C．若y＝，则y′|x＝1＝－
D．若y＝cosx，则y′|x＝＝－1
答案　B
解析　∵y＝＝x－，∴y′＝－·x－＝－.
∴y′|x＝2＝－＝－.
2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－3＝0　　　　　
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
答案　A
解析　∵l与直线x＋4y－8＝0垂直，
∴l的斜率为4.∵y′＝4x3，
∴由切线l的斜率是4，得4x3＝4，∴x＝1.
∴切点坐标为(1，1)．
∴切线方程为y－1＝4(x－1)，
即4x－y－3＝0.故选A.
3．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．
答案　A
解析　y′＝x－3，由x－＝.
得x＝3或x＝－2.由于x>0，所以x＝3.
4．在下列函数中，值域不是[－，]的函数共有(　　)
①y＝(sinx)′＋(cosx)′　　
②y＝(sinx)′＋cosx
③y＝sinx＋(cosx)′
④y＝(sinx)′·(cosx)′
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案　C
解析　②、③、④不是．
5．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
6．已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是(　　)
A．0秒、2秒或4秒
B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒
D．0秒、4秒或8秒
答案　D
二、填空题
7．下列结论中正确的是________．
①y＝ln2，则y′＝
②y＝，则y′|x＝3＝－
③y＝2x，则y′＝2xln2
④y＝log2x，则y′＝
答案　②③④
8．设f(x)＝x3－3x2－9x＋1，则不等式f′(x)<0的解集为________．
答案　(－1，3)
9．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
答案　ln2－1
10．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
答案　(1，e)，e
11．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．
答案　4x－4y－1＝0
解析　k＝＝1，又y′＝2x，
令2x＝1，得x＝，进而y＝，
∴切线方程为y－＝1·(x－)，
即4x－4y－1＝0.
12．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，解不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为________．
答案　{x|x＝2kπ＋，k∈Z}
解析　f′(x)＝－sinx，
g′(x)＝1，
∴不等式f′(x)＋g′(x)≤0，即－sinx＋1≤0.
∴sinx≥1，又sinx≤1，∴sinx＝1.
∴x＝2kπ＋，k∈Z.
三、解答题
13．如果曲线y＝x2＋x－3的某一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点坐标与切线方程．
答案　切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x－y－4＝0
14．求曲线y＝sinx在点A(，)处的切线方程．
解析　∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
∴y′|x＝＝cos＝，k＝.
∴切线方程为y－＝(x－)．
化简得6x－12y＋6－π＝0.
15．(1)求过曲线y＝ex上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；
(2)曲线y＝x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，求此切线方程．
解析　(1)∵y′＝ex，
∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|x＝1＝e.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为k＝－.
∴所求直线方程为y－e＝－(x－1)，
即x＋ey－e2－1＝0.
(2)∵切线与y＝－x＋3垂直，∴切线斜率为1.
又y′＝x4，令x4＝1，∴x＝±1.
∴切线方程为5x－5y－4＝0或5x－5y＋4＝0.
重点班·选做题
16．下列命题中正确的是________．
①若f′(x)＝cosx，则f(x)＝sinx
②若f′(x)＝0，则f(x)＝1
③若f(x)＝sinx，则f′
(x)＝cosx
答案　③
解析　当f(x)＝sinx＋1时，f′(x)＝cosx，
当f(x)＝2时，f′(x)＝0.
17．已知曲线方程为y＝x2，求过A(3，5)点且与曲线相切的直线方程．
解析　解法一　设过A(3，5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k.
由
得x2－kx＋3k－5＝0.
Δ＝k2－4(3k－5)＝0，
整理得(k－2)(k－10)＝0.
∴k＝2或k＝10.
所求的直线方程为
2x－y－1＝0，10x－y－25＝0.
解法二　设切点P的坐标为(x0，y0)，
由y＝x2，得y′＝2x.
∴y′|x＝x0＝2x0.
由已知kPA＝2x0，即＝2x0.
又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.
∴切点坐标为(1，1)，(5，25)．
∴所求直线方程为2x－y－1＝0，10x－y－25＝0.