1.2.1 基本初等函数的导数公式 同步练习3(含答案)

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名称 1.2.1 基本初等函数的导数公式 同步练习3(含答案)
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文件大小 132.1KB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2016-12-15 21:14:41

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文档简介

1.2.1
基本初等函数的导数公式
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1.若函数f(x)=,则f
′(1)等于(  )
A.0   
B.-   
C.2   
D.
[答案] D
[解析] f
′(x)=()′=,
所以f
′(1)==,故应选D.
2.抛物线y=x2在点(2,1)处的切线方程是(  )
A.x-y-1=0
B.x+y-3=0
C.x-y+1=0
D.x+y-1=0
[答案] A
[解析] ∵f(x)=x2,
∴f
′(2)=x|x=2=1.
∴切线方程为y-1=x-2.即x-y-1=0.
3.已知f(x)=x3,则f
′(2)=
(  )
A.0
B.3x2
C.8
D.12
[答案] D
[解析] f
′(2)=


((Δx)2+6Δx+12)=12,故选D.
4.已知f(x)=xα,若f
′(-1)=-2,则α的值等于(  )
A.2
B.-2
C.3
D.-3
[答案] A
[解析] 若α=2,则f(x)=x2,
∴f
′(x)=2x,∴f
′(-1)=2×(-1)=-2适合条件.故应选A.
5.一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是(  )
A.7米/秒
B.6米/秒
C.5米/秒
D.8米/秒
[答案] C
[解析] v(t)=s′(t)=-1+2t,
∴v(3)=-1+2×3=5(米/秒),故选C.
6.曲线y=x3在x=1处切线的倾斜角为(  )
A.1
B.-
C.
D.
[答案] C
[解析] ∵y=x3,∴y′|x=1=1,∴切线的倾斜角α满足tanα=1,∵0≤α<π,∴α=.
二、填空题
7.已知①y=f(x),②y=g(x),③y=h(x)都是路程y关于时间x的函数,且f
′(x)=1,g′(x)=2,h′(x)=3,则运动速度最快的是________(填序号).
[答案] ③
[解析] 由导数的几何意义知,y=f(x)的瞬时速度为1,y=g(x)的瞬时速度为2,y=h(x)的瞬时速度为3,且都是匀速运动,故最快的是③.
8.若曲线y=x3的某一切线与直线y=12x+6平行,则切点坐标是________.
[答案] 
(2,8)或(-2,-8)
[解析] 设切点坐标为(x0,x),
因为y′=3x2,所以切线的斜率k=3x,又切线与直线y=12x+6平行,所以3x=12,解得x0=±2,故切点为(2,8)或(-2,-8).
9.若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是________.
[答案] 4
[解析] y′=,切线方程为y-=(x-a),
令x=0得,y=,
令y=0得,x=-a,
由题意知··a=2,∴a=4.
三、解答题
10.求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.
[解析] 平移直线x-y-2=0与抛物线y=x2相切,
设切点为P(x0,y0),
y′|x=x0=2x0=1,∴x0=,y0=,
由点到直线的距离公式,得最短距离
d==.
能力拓展提升
一、选择题
11.已知物体的运动方程为s=t2+(t是时间,s是位移),则物体在时刻t=2时的速度为(  )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] ∵s′=2t-,∴s′|t=2=4-=,故选D.
12.已知曲线y=x3-1与曲线y=3-x2在x=x0处的切线互相垂直,则x0的值为(  )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 由导数的定义容易求得,曲线y=x3-1在x=x0处切线的斜率k1=3x,曲线y=3-x2在x=x0处切线的斜率为k2=-x0,由于两曲线在x=x0处的切线互相垂直,∴3x·(-x0)=-1,∴x0=,故选D.
13.曲线y=上的点P(0,0)处的切线方程为(  )
A.y=-x
B.x=0
C.y=0
D.不存在
[答案] B
[解析] ∵y=,
∴Δy=-

=,
∴=,
∴y′=li
=.
∴曲线在点P(0,0)处切线的斜率不存在,
∴切线方程为x=0.
14.质点作直线运动的方程是s=,则质点在t=3时的速度是(  )
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] Δs=-=


∴li
==,
∴s′(3)=
.故应选A.
二、填空题
15.在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,当斜率最小时,切线方程为________.
[答案] 3x-y-11=0
[解析] 设切点P(x0,y0),则过P(x0,y0)的切线斜率为y′|x=x0,它是x0的函数,求出其最小值.
设切点为P(x0,y0),过点P的切线斜率k=y′|x=x0=3x+6x0+6=3(x0+1)2+3.当x0=-1时k有最小值3,此时P的坐标为(-1,-14),其切线方程为3x-y-11=0.
16.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N
,若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.
[答案] 21
[解析] ∵y′=2x,∴在点(ak,a)的切线方程为y-a=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列{ak}是等比数列,首项a1=16,其公比q=,∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.
三、解答题
17.已知曲线C:y=经过点P(2,-1),求
(1)曲线在点P处的切线的斜率.
(2)曲线在点P处的切线的方程.
(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程.
[解析] (1)将P(2,-1)代入y=中得t=1,
∴y=.
∴==
=,

=,
∴曲线在点P处切线的斜率为k=y′|x=2==1.
(2)曲线在点P处的切线方程为y+1=1×(x-2),即x-y-3=0.
(3)∵点O(0,0)不在曲线C上,设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0,y0),则切线斜率k==,
由于y0=,∴x0=,∴切点M(,2),切线斜率k=4,切线方程为y-2=4(x-),即y=4x.
18.求曲线y=与y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.
[解析] 两曲线方程联立得解得
∴k1=-|x=1=-1,k2=2x|x=1=2,
∴两切线方程为x+y-2=0,2x-y-1=0,所围成的图形如上图所示.
∵两直线与x轴交点分别为(2,0),(,0).
∴S=×1×=.