1.2.2 导数的运算法则 同步练习3（含答案）

1.2.2
导数的运算法则
同步练习
一、选择题
1．函数y＝2sinxcosx的导数为(　　)
A．y′＝cosx　　　　　　　
B．y′＝2cos2x
C．y′＝2(sin2x－cos2x)
D．y′＝－sin2x
答案　B
解析　y′＝(2sinxcosx)′
＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′
＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.
2．函数f(x)＝的导数是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　f′(x)＝＝.
3．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为(　　)
A．ab
B．－a(a－b)
C．0
D．a－b
答案　D
解析　y′＝(x－a)′(x－b)＋(x－a)·(x－b)′，
∴y′＝2x－(a＋b)，y′|x＝a＝2a－a－b＝a－b.
4．函数y＝x·lnx的导数是(　　)
A．x
B.
C．lnx＋1
D．lnx＋x
答案　C
解析　y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1.
5．函数y＝的导数是(　　)
A．－
B．－sinx
C．－
D．－
答案　C
解析　y′＝()′＝
＝.
6．曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝x－2
B．y＝－3x＋2
C．y＝2x－3
D．y＝－2x＋1
答案　D
7．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝.
8．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，点P处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪
答案　D
解析　由y′＝3x2－，易知y′≥－，即tanα≥－.
∴0≤α<或π≤α<π.
9．函数y＝的导数是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　y′＝＝.
10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于(　　)
A．0
B．－4
C．－2
D．2
答案　B
解析　f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′
(1)＝－2.
∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
11．已知f()＝，则f′(x)＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
答案　D
解析　∵f()＝＝，
∴f(x)＝.
∴f′(x)＝－.
12．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　)
A．4
B．－
C．2
D．－
答案　A
解析　依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′
(1)＋2＝4，选A.
二、填空题
13．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．
答案　3x－y－11＝0
解析　y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，
当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1，时y＝－14.
∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
14．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′()＝，则a＝________，b＝________.
答案　0　－1
解析　f′(x)＝2ax－bcosx，
∴f′(0)＝－b＝1.
f′()＝2a·－b·cos＝，
得a＝0，b＝－1.
三、解答题
15．求下列函数的导数．
(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
解析　(1)∵f′(x)＝[2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5]′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝＋＝＋
＝＝－2，
∴f′(x)＝(－2)′＝＝.
(3)f′(x)＝(＋)′＝()′＋()′
＝＋
＝
＝.
16．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式．
解析　∵f(x)＝2x3＋ax的图像过点P(2，0)，
∴a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8.
对于g(x)＝bx2＋c的图像过点P(2，0)，则4b＋c＝0.
又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16.
∴b＝4.∴c＝－16.　∴g(x)＝4x2－16.
综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.
17．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．
解析　设切点坐标为(x0，y0)，y′|x＝x0＝3x－6x0＋2＝k.
若x0＝0，则k＝2.若x0≠0，由y0＝kx0，得k＝.
∴3x－6x0＋2＝，
即3x－6x0＋2＝.解之，得x0＝.
∴k＝3×()2－6×＋2＝－.
综上，k＝2或k＝－.
重点班·选做题
18．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2，2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案　D
解析　显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，
由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x0.
切线方程为y－(3x0－x0)＝(3－3x0)(x－x0)．
∵P(2，2)在切线上，
∴2－(3x0－x0)＝(3－3x0)(2－x0)，
即x0－3x0＋2＝0.
∴(x0－1)(x0－2x0－2)＝0.
由x0－1＝0，得x0＝1.
由x0－2x0－2＝0，得x0＝1±.
∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．
19．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为________．
答案　
解析　y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，
y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，得
x1＝1或x2＝－.
∴两个切点分别为(1，2)和(－，－)．
切线方程为x－y＋1＝0和x－y－＝0.
∴d＝＝.
教师备选题
1．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
分析　(1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S＝a·h
即可完成．
解析　(1)因为y′＝2x＋1，则直线l1的斜率k1＝2×1＋1＝3，则直线l1的方程为y＝3x－3，设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，
b2＋b－2)，则l2的方程为
y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为(，－)，l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)，(－，0)．所以所求三角形的面积S＝××|－|＝.