1.2.3 导数的计算综合问题 同步练习1（含答案）

1.2.3
导数的计算综合问题
同步练习
一、选择题
1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是(　　)
A．y＝un，u＝cos
xn　　
　
B．y＝t，t＝cosnx
C．y＝tn，t＝cos
x
D．y＝cos
t，t＝xn
答案：C　
2．y＝loga(2x2－1)的导数是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：A
3．设正弦曲线y＝sin
x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)
A.∪
B．[0，π)
C.
D.∪
解析：因为(sin
x)′＝cos
x，所以k1＝
cos
x，所以－1≤k1≤1，所以倾斜角的范围是∪.故选A.
答案：A
4．设f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)＞0的解集为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．
(－1，0)
解析：f(x)定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝2x－2－＝>0.
解得－12.所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
答案：C
5．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A．3x－15y＋4＝0　
B．15x－3y－2＝0
C．15x－3y＋2＝0　
D．3x－y＋1＝0
解析：f′(x)＝－2x2＋4ax＋3，因为f′(x)的最大值为5，所以＝5，解得a＝1(舍去a＝－1)，所以f(x)＝－x3＋2x2＋3x，f(1)＝，f′(1)＝5，所以切线方程为y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.故选B.
答案：B
二、填空题
6．f(x)＝xsin
x－cos
x，f′(π)＝__________.
答案：－π
7．y＝2xln
x在x＝2处的导数为__________．
答案：2＋4ln22
8．设函数f(x)＝ex＋g(x)，若曲线y＝g(x)在点P(0，g(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点Q(0，f(0))处的切线方程为________________________．
解析：g′(0)＝2，g(0)＝1，所以f′(0)＝3，f(0)＝2，所以曲线y＝f(x)在点Q(0，f(0))处的切线方程为y－2＝3x，即3x－y＋2＝0.
答案：3x－y＋2＝0
三、解答题
9．已知曲线y＝e2x·cos
3x在点(0，1)处的切线与直线C的距离为，求直线C的方程．
解析：因为y′＝(e2x)′cos
3x＋e2x·(cos
3x)′＝2e2x·cos
3x－3e2x·sin
3x，所以y′|x＝0＝2，所以在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.
设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，
根据题意，得＝，解得b＝6或－4.
所以适合题意的直线方程为
y＝2x＋6或y＝2x－4.
10.
设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
解析：方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.
又f′(x)＝a＋，于是
解得
故f(x)＝x－.
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知：曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.