1.2.3 导数的计算综合问题 同步练习2（含答案）

1.2.3
导数的计算综合问题
同步练习
一、选择题
1．若f(x)＝(x＋1)4，则f′(0)等于
(　　)
A．0　　　　　　　　　　　　
B．1
C．3
D．4
答案　D
2．若f(x)＝sin
(2x＋)，则f′()等于(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案　A
3．y＝cos3(2x＋3)的导数是(　　)
A．y′＝3cos2(2x＋3)
B．y′＝6cos2
(2x＋3)
C．y′＝－3cos2(2x＋3)·sin(2x＋3)
D．y′＝－6cos2(2x＋3)·sin(2x＋3)
答案　D
4．函数y＝sin2x的图像在处的切线的斜率是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
分析　将函数y＝sin2x看作是由函数y＝u2，u＝sinx复合而成的．
解析　∵y′＝2sinxcosx，
∴y′|x＝＝2sincos＝.
5．y＝sin3的导数是(　　)
A．－sin2
B．－sin2
C．－cos·sin2
D.sin·sin
答案　C
6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A.
B．2
C．3
D．0
答案　A
解析　y′＝＝2，∴x＝1.∴切点坐标为(1，0)．
由点到直线的距离公式，得d＝＝.
7．设y＝f(2－x)可导，则y′等于(　　)
A．f′(2－x)ln2
B．2－x·f′(2－x)ln2
C．－2－x·f′(2－x)ln2
D．－2－x·f′(2－x)log2e
答案　C
8．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是(　　)
A．(2，4)
B．(－3，－1)
C．(1，3)
D．(0，2)
答案　D
解析　由f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)知，当x∈(1，3)时，f′(x)<0.函数f(x)在(1，3)上为减函数，函数f(x＋1)的图像是由函数y＝f(x)图像向左平移1个单位长度得到的，所以(0，2)为函数y＝f(x＋1)的单调减区间．
9．函数f(x)＝asinax(a∈R)的图像过点P(2π，0)，并且在点P处的切线斜率为4，则f(x)的最小正周期为(　　)
A．2π
B．π
C.
D.
答案　B
解析　f′(x)＝a2cosax，∴f′(2π)＝a2cos2πa.
又asin2πa＝0，∴2πa＝kπ，k∈Z.
∴f′(2π)＝a2coskπ＝4，∴a＝±2.
∴T＝＝π.
二、填空题
10．函数y＝ln(2x2－4)的导函数是y′＝________.
答案　
11．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝________.
答案　60
12．若f(x)＝(x－1)·ex－1，则f′(x)＝________.
答案　x·ex－1
13．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案　2
解析　由题意得y′＝aeax，y′|x＝0＝aea×0＝2，a＝2.
14．一物体作阻尼运动，运动规律为x＝e－2tsin(3t＋)，则物体在时刻t＝0时，速度为________，加速度为________．
答案　－1；6－
三、解答题
15．已知f(x)＝(x＋)10，求.
答案：　
＝10.
16．求证：双曲线C1：x2－y2＝5与椭圆C2：4x2＋9y2＝72在第一象限交点处的切线互相垂直．
证明　联立两曲线的方程，求得它们在第一象限交点为(3，2)．C1在第一象限的部分对应的函数解析式为y＝，于是：
由y′得：
∴k1＝y′|x＝3＝.
C2在第一象限的部分对应的函数解析式为
y＝.
∴y′＝＝－.
∴k2＝y′|x＝3＝－.
∵k1·k2＝－1，∴两切线互相垂直．
重点班·选做题
17．曲线y＝e2xcos3x在(0，1)处的切线与l的距离为，求l的方程．
解析　由题意知
y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′
＝2e2xcos3x＋3(－sin3x)·e2x
＝2e2xcos3x－3e2xsin3x，
∴曲线在(0，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.
∴该切线方程为y－1＝2x y＝2x＋1.
设l的方程为y＝2x＋m，
则d＝＝.
解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4；
当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6.
综上，可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.