1.3.1 函数的单调性与导数 同步练习1（含答案）

1.3.1
函数的单调性与导数
同步练习
基础巩固训练
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.函数y=x+cosx在(-∞，+∞)内是(　　)
A.增函数
B.减函数
C.有增有减
D.不能确定
【解析】选A.因为y′=1-sinx≥0恒成立，故选A.
2.函数y=x3-x导数的单调递增区间为(　　)
A.(0，+∞)
B.(-∞，-1)
C.
D.和
【解析】选A.由y=x3-x得y′=3x2-1，令g(x)=3x2-1，则g′(x)=6x.
由6x>0得x>0，所以函数g(x)=3x2-1的递增区间为(0，+∞).
3.函数y=ax2+c在区间(0，+∞)内单调递增，则a和c应满足(　　)
A.a<0，且c=0
B.a>0，且c是任意实数
C.a<0，且c≠0
D.a<0，且c是任意实数
【解析】选B.因为y′=2ax，且函数y=ax2+c在(0，+∞)上单调递增，所以2ax>0，所以a>0且c∈R.
【变式训练】函数y=ax3-x在R上是减函数，则(　　)
A.a≥　　
B.a=1　　
C.a=2　
　D.a≤0
【解析】选D.因为y′=3ax2-1，函数y=ax3-x在(-∞，+∞)上是减函数，所以
y′=3ax2-1≤0恒成立，当x=0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；
当x≠0时，若a≤恒成立，则a≤0.综上可得a≤0.
4.如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)
A.在区间(-2，1)上f(x)是增函数
B.在区间(1，3)上f(x)是减函数
C.在区间(4，5)上f(x)是增函数
D.在区间(3，
5)上f(x)是增函数
【解析】选C.由图象可知，在区间(4，5)上，f′(x)>0，所以f(x)在(4，5)上是增函数，故选C.
5.对于R上可导的任意函数，若满足(x-1)f′(x)≥0，则必有(　　)
A.f(0)+f(2)<2f(1)
B.f(0)+f(2)>2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1)
D.f(0)+f(2)≤2f(1)
【解析】选C.x≥1时f′(x)≥0；x≤1时f′(x)≤0.所以f(1)最小，f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，故选C.
6.函数y=ln
(x2-x-2)的单调递减区间为(　　)
A.
B.(-∞，-1)
C.
D.(-∞，-1)∪(2，+∞)
【解析】选B.令t=x2-x-2，
t′=2x-1<0，x<，
又因为x2-x-2>0，x>2或x<-1，
y=lnt是增函数.
综上可知，y=ln(x2-x-2)的递减区间为(-∞，-1).
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.函数f(x)=x-sinx，x∈[0，2π]，则其单调递增区间为__________.
【解析】令f′(x)=-cosx>0，则cosx<，其单调递增区间为.
答案：
8.若函数f(x)=x-+在(1，+∞)上是增函数，则实数p的取值范围是__________.
【解题指南】可求出函数的导数，令导数在(1，+∞)上大于等于0恒成立即可得到参数p满足的不等式，解出其范围即可.
【解析】由题意，f′(x)=1+，由于函数在(1，+∞)上是增函数，所以f′(x)=1+≥0在(1，+∞)上恒成立且不恒为0，故有≥-1在(1，+∞)上恒成立，即p≥-x2在(1，+∞)上恒成立，所以p≥-1.
答案：p≥-1
9.函数f(x)=x3+ax+8的单调递减区间为(-5，5)，则f(x)的单调递增区间为________.
【解题指南】解答本题可由单调递减区间求出a的值，进而再求f(x)的单调递增区间.
【解析】f′(x)=3x2+a，又(-5，5)是f(x)的减区间，所以-5，5是方程3x2+a=0的根，故a=-75.此时f′(x)=3x2-75，令f′(x)>0，则3x2-75>0，解得x<-5或x>5.
答案：(-∞，-5)和(5，+∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：
①f(x)在(-∞，-1)上是增函数，在(-1，0)上是减函数；
②f(x)的导函数是偶函数；
③f(x)在x=0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直.
求函数y=f(x)的解析式.
【解析】f′(x)
=3ax2+2bx+c，
因为f(x)在(-∞，-1)上是增函数，在(-1，0)上是减函数，
所以f′(-1)=3a-2b+c=0.①
由f(x)的导函数是偶函数得：b=0，②
又f(x)在x=0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)=c=-1，③
由①②③得：a=，b=0，c=-1，即f(x)=x3-x+3.
11.已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2(k≥0).
(1)当k=2时，求曲线y=f(x)在点
(1，f(1))处的切线方程.
(2)求f(x)的单调区间.
【解题指南】(1)求出f′(1)，再代入点斜式方程即可得到切线方程.(2)由k讨论f′(x)的正负，从而确定单调区间.
【解析】(1)当k=2时，f(x)=ln(1+x)-x+x2，
f′(x)=-1+2x，
由于f(1)=ln2，f′(1)=，
所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y-ln2=(x-1)，
即3x-2y+2ln2-3=0.
(2)f′(x)=-1+kx=，x∈(-1，+∞).
当k=0时，f′(x)=-.
所以，在区间(-1，0)上，f′(x)>0；
在区间(0，+∞)上，f′(x)<0，
故f(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞).
当0得x1=0，x2=>0，
所以，在区间(-1，0)和上，f′(x)>0；
在区间上，f′(x)<0，
故f(x)的单调递增区间是(-1，0)和，单调递减区间是.
当k=1时，f′(x)=，
故f(x)的单调递增区间是(-1，+∞).
当k>1时，f′(x)==0，
得x1=∈(-1，0)，x2=0.
所以在区间和(0，+∞)上，f′(x)>0；
在区间上，f′(x)<0，
故f(x)的单调递增区间是和(0，+∞)，单调递减区间是.
能力提升训练
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是(　　)
【解析】选C.由函数y=xf′(x)的图象可知，当x<-1时，xf′(x)<0，所以
f′(x)>0，所以f(x)在(-∞，-1)上是增函数，同理可得f(x)在(-1，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数.
2.函数f(x)=-(aA.f(a)=f(b)
B.f(a)C.f(a)>f(b)
D.f(a)，f(b)大小关系不能确定
【解析】选C.f′(x)=-=<0时x<1，
所以f(x)在(-∞，1)上为减函数，又a3.
“a>0”是“函数f(x)=x3+ax在区间(0，+∞)上是增函数”的(　　)
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】求出导数，由题意求出a的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可.
【解析】选B.函数f(x)=x3+ax在区间(0，+∞)上是增函数，所以f′(x)=3x2+a≥0，所以a≥0，显然，若a>0则有函数f(x)=x3+ax在区间(0，+∞)上是增函数，若a=0函数f(x)=x3+ax在区间(0，+∞)上是增函数，所以“a>0”是“函数f(x)=x3+ax在区间(0，+∞)上是增函数”的充分而不必要条件.故选B.
4.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(2)=0，当x>0时有<0，则不等式x2·f(x)>0的解集是(　　)
A.(-2，0)∪(2，+∞)
B.(-∞，-2)∪(0，2)
C.(-2，0)∪(0，2)
D.(-2，2)∪(2，+∞)
【解题指南】首先根据商函数求导法则，把<0化为′<0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在(0，+∞)内单调递减；再由f(2)=0，易得f(x)在(0，+∞)内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f(x)在(-∞，0)内的正负性.则x2f(x)>0 f(x)>0的解集即可求得.
【解析】选B.因为当x>0时，有<0恒成立，即′<0恒成立，所以函数y=在(0，+∞)内单调递减.
因为f(2)=0，所以在(0，2)内恒有f(x)>0；在(2，+∞)内恒有f(x)<0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以在(-∞，-2)内恒有f(x)>0；在(-2，0)内恒有f(x)<0.又不等式x2f(x)>0的解集，即不等式f(x)>0的解集.所以答案为
(-∞，-2)∪(0，2).故选B.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x)(a∈R)，且f(x)在[-3，-2)上是增函数，则实数a的取值范围是________.
【解析】求导函数，可得f′(x)=2ax-，
由题意得f′(x)≥0对一切x∈[-3，
-2)恒成立，
所以a≤=，
当x∈[-3，-2)时，-+<-6，
所以>-.
故a≤-.
答案：
【拓展延伸】求参数取值范围的注意点
(1)在某个区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在这个区间上是单调递增的(或单调递减的).
(2)由f(x)在这个区间上是单调递增的(或单调递减的)仅仅得到f′(x)>0(或
f′(x)<0)是不全面的，即还有可能f′(x)=0，也能使得f(x)在这个区间上具有单调性.
6.函数f(x)=的单调递减区间是________.
【解析】函数的定义域为{x|x≠2}.
f′(x)==，
令f′(x)<0，解得x<3，且x≠2，所以递减区间为(-∞，2)和(2，3).
答案：(-∞，2)和(2，3)
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.求函数f(x)=x+(a>0)的单调区间.
【解析】函数的定义域为{x|x≠0}.
当a>0时，f′(x)=1-=，
令f′(x)>0，解得x<-或x>.
令f′(x)<0，解得-因此，函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-)和(，+∞)；
单调递减区间是(-，0)和(0，).
【举一反三】如果本题中没有“a>0”这个条件，该如何解答？
【解析】函数的定义域为{x|x≠0}.
当a>0时，f′(x)=1-=.
令f′(x)>0，解得x<-或x>.
令f′(x)<0，解得-当a≤0时，f′(x)=1->0恒成立，所以函数f(x)只有增区间(-∞，0)和(0，
+∞).
综上，当a>0时，函数f(x)的递增区间是(-∞，-)和(，+∞)；递减区间是(-，0)和(0，)；
当a≤0时，函数f(x)的递增区间是(-∞，0)和(0，+∞).
8.已知函数f(x)=ex.
(1)求f(x)的单调区间.
(2)证明：当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，x1+x2<0.
【解题指南】第(1)小题解题依据是在定义域下不等式f′(x)>0的解集是原函数的增区间，不等式f′(x)<0的解集是原函数的减区间.第(2)小题首先要确定在什么范围下f(x1)=f(x2)，然后再构造新函数利用单调性去证明.
【解析】(1)函数f(x)的定义域是(-∞，+∞)，
f′(x)=′ex+ex
=ex
=ex.
当x<0时，f′(x)>0；
当x>0时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，
单调递减区间为(0，+∞).
(2)当x<1时，由于>0，ex>0，故f(x)>0；
同理，当x>1时，f(x)<0.
当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1由(1)知，x1∈(-∞，0)，x2∈(0，1).
下面证明： x∈(0，1)，f(x)ex此不等式等价于(1-x)ex-<0.令g(x)=(1-x)ex-，
则g′(x)=-xe-x(e2x-1).
当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，从而g(x)所以 x∈(0，1)，f(x)而x2∈(0，1)，所以f(x2)