1.3.1 函数的单调性与导数 同步练习2（含答案）

1.3.1
函数的单调性与导数
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－1]和[0，1]
B．[－1，0]和[1，＋∞)
C．[－1，1]
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
[答案]　A
[解析]　y′＝4x3－4x，
令y′<0，即4x3－4x<0，
解得x<－1或02．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)
A．a≤0
B．a<1
C．a<2
D．a≤
[答案]　A
[解析]　f
′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.
3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f
′(x)>0，g′(x)>
0，则x<0时(　　)
A．f
′(x)>0，g′(x)>0
B．f
′(x)>0，g′(x)<0
C．f
′(x)<0，g′(x)>0
D．f
′(x)<0，g′(x)<0
[答案]　B
[解析]　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f
′(x)>0，g′(x)<0.
4．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m>，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　f
′(x)＝3x2＋4x＋m，∵f(x)在R上单调递增，∴f
′(x)≥0在R上恒成立，∴Δ＝16－12m≤0，
∴m≥，故p是q的必要不充分条件．
5．设f
′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f
′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(　　)
[答案]　C
[分析]　由导函数f
′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．
[解析]　由f
′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f
′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0，2)时，f
′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f
′(x)>0，f(x)为增函数．
只有C符合题意，故选C.
6．设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f
′(x)满足f
′(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2012)>e2012f(0)
B．f(2)e2012f(0)
C．f(2)D．f(2)>e2f(0)，f(2012)[答案]　C
[解析]　∵函数F(x)＝的导数
F′(x)＝＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)<
F(0)，即<，故有f(2)同理可得f(2012)二、填空题
7．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．
[答案]　(－∞，－1)
[解析]　函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为
(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令f(x)＝x2－x－2，f
′(x)＝2x－1<0，得x<，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为
(－∞，－1)．
8．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－∞，0]
[解析]　∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f
′(x)＝3x2－2ax－3，
又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，
f
′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴解得a≤0，
故答案为(－∞，0]．
9．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_________．
[答案]　b≤－1
[解析]　f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f
′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1，2)，且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析]　(1)∵函数f(x)的图象过点P(1，2)，
∴f(1)＝2.
∴a＋b＝1.
①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f
′(1)＝8，
又f
′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴2a＋b＝5.
②
解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.
(2)由(1)得f
′(x)＝3x2＋8x－3，
令f
′(x)>0，可得x<－3或x>；
令f
′(x)<0，可得－3∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(，＋∞)，单调减区间为(－3，)．
能力拓展提升
一、选择题
11．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A．0　　　
B．1　　　
C．2　　　
D．3
[答案]　B
[解析]　本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．
∵f(x)＝2x＋x3－2，0′(x)＝2xln2＋3x2>0在(0，1)上恒成立，∴f(x)在(0，1)上单调递增．
又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0，1)内至少有一个零点，
又函数y＝f(x)在(0，1)上单调递增，则函数f(x)在(0，1)内有且仅有一个零点．
12．已知函数f(x)及其导数f
′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f
′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是(　　)
①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋
A．2　　　
B．3　　　
C．4　　　
D．5
[答案]　B
[解析]　①中的函数f(x)＝x2，f
′(x)＝2x，要使f(x)＝f
′(x)，则x2＝2x，解得x＝0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f(x)＝f
′(x)，则e－x＝－e－x，由对任意的x，有e－x>0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f(x)＝f
′(x)，则lnx＝，由函数f(x)＝lnx与y＝的图象有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于④中的函数，要使f(x)＝f
′(x)，则tanx＝，即sinxcosx＝1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f(x)＝f
′(x)，则x＋＝1－，即x3－x2＋x＋1＝0，设函数g(x)＝x3－x2＋x＋1，g′(x)＝3x2－2x＋1>0且g(－1)<0，g(0)>0，显然函数g(x)在(－1，0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.
13．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f
′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f
′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，e4)
D．(e4，＋∞)
[答案]　B
[解析]　令g(x)＝，则
g′(x)＝＝<0，
所以g(x)在R上是减函数，又y＝f(x)－1为奇函数，所以f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，g(0)＝1，所以原不等式可化为g(x)＝<1＝g(0)，所以x>0，故选B.
14．已知函数y＝xf
′(x)的图象如图(1)所示(其中f
′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)
[答案]　C
[解析]　当0′(x)<0，
∴f
′(x)<0，故y＝f(x)在(0，1)上为减函数．
当x>1时xf
′(x)>0，∴f
′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.
二、填空题
15．在区间[－a，a](a>0)内图象不间断的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，函数g(x)＝ex·f(x)，且g(0)·g(a)<0，又当0′(x)＋f(x)>0，则函数f(x)在区间[－a，a]内零点的个数是________．
[答案]　2
[解析]　∵f(－x)－f(x)＝0，∴f(x)为偶函数，
∵g(x)＝ex·f(x)，∴g′(x)＝ex[f
′(x)＋f(x)]>0，
∴g(x)在[0，a]上为单调增函数，
又∵g(0)·g(a)<0，
∴函数g(x)＝ex·f(x)在[0，a]上只有一个零点，
又∵ex≠0，
∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点，
∵f(x)是偶函数，且f(0)≠0，∴f(x)在[－a，a]上有且仅有两个零点．
三、解答题
16．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析]　(1)求导得f
′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f
′(1)＝－12，
即，
解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f
′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f
′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f
′(x)<0，解得－1所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1，3)时，f(x)是减函数．
17．已知函数f(x)＝alnx＋＋x(a>0)．若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析]　(1)f
′(x)＝－＋1，
∵f
′(1)＝－2，∴2a2－a－3＝0，
∵a>0，∴a＝.
(2)f
′(x)＝－＋1
＝＝，
∵当x∈(0，)时，f
′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f
′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)．