1.3.1 函数的单调性与导数 同步练习3（含答案）

1.3.1
函数的单调性与导数
同步练习
一、选择题
1．函数f(x)＝2x－sin
x在(－∞，＋∞)上(　　)
A．是增函数　　　　　　　　
B．是减函数
C．有最大值
D．有最小值
答案　A
2．函数f(x)＝5x2－2x的单调递减区间是(　　)
A．(，＋∞)
B．(－∞，)
C．(－，＋∞)
D．(－∞，－)
答案　B
3．函数y＝xlnx在区间(0，1)上是(　　)
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在(0，)上是减函数，在(，1)上是增函数
D．在(0，)上是增函数，在(，1)上是减函数
答案　C
解析　f′(x)＝lnx＋1，当0当0.
4．函数y＝4x2＋的单调增区间为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，－)
答案　B
解析　y′＝8x－，令y′＞0，得8x－＞0，
即x3＞，
∴x＞.
5．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－，)，则a的取值范围是(　　)
A．a＞0
B．－1＜a＜0
C．a＞1
D．0＜a＜1
答案　A
解析　y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－＜x＜.
∴f(x)＝x3－x在(－，)上为减函数．
又y＝a·(x3－x)的递减区间为(－，)．
∴a＞0.
6.
已知f′(x)是f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是(　　)
答案　D
解析　从y＝f′(x)的图像可以看出，在区间(a，)内，导数值递增；在区(，b)内，导数值递减，即函数f(x)的图像在(a，)内越来越陡峭，在(，b)内越来越平缓．
7．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2)
B．(0，3)
C．(1，4)
D．(2，＋∞)
答案　D
解析　f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，
由f′(x)>0，得x>2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数．
二、填空题
8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
答案　(0，＋∞)
解析　若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则其导数y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
9．若函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数p的取值范围是________．
答案　[－1，＋∞)
解析　f′(x)＝1＋≥0对x>1恒成立，即x2＋p≥0对x>1恒成立，∴p≥－x2(x>1)．∴p≥－1.
10．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1，2]上为增函数，则a∈________.
答案　(－∞，0)
解析　y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当x∈(－1，2)时，(x＋1)(x－2)<0，
∴a<0.
11．f(x)＝(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数，则a∈________.
答案　[－1，1]
解析　y′＝2·，
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴y′在(－1，1)上大于等于0，即2·≥0.
∵(x2＋2)2＞0，
∴x2－ax－2≤0对x∈(－1，1)恒成立．
令g(x)＝x2－ax－2，
则　　即　∴－1≤a≤1.
即a的取值范围是[－1，1]．
三、解答题
12．已知f(x)＝ax3＋3x2－x－1在R上是减函数，求a的取值范围．
解析　∵f′(x)＝3ax2＋6x－1，又f(x)在R上递减，
∴f′(x)≤0对x∈R恒成立．
即3ax2＋6x－1≤0对x∈R恒成立，显然a≠0.
∴　　∴a≤－3.
即a的取值范围为(－∞，－3]．
13．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数
f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
解析　f′(x)＝2x－＝，
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∵x>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，
f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0.
∴a的取值范围是a≤16.
14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．
解析　(1)对f(x)求导，得
f′(x)＝3x2＋2ax＝3x(x＋a)．
①当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立．
∴f(x)的递增区间是(－∞，＋∞)；
②当a>0时，由于f′(x)分别在(－∞，－α)和(0，＋∞)上都恒为正，所以f(x)的递增区间是(－∞，－a)，(0，＋∞)；由于f′(x)在(－a，0)上恒为负，所以f(x)的递减区间是(－a，0)；
③当a<0时，在x∈(－∞，0)和x∈(－a，＋∞)上均有f′(x)>0，∴f(x)的递增区间是(－∞，0)，(－a，＋∞)；在(0，－a)上，f′(x)<0，f(x)的递减区间是(0，－a)．
(2)由(1)知，(－，－) (－a，0)，
∴－a≤－.∴a≥1.
15．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
分析　本题主要考查借助函数的单调性来求导的能力及解不等式的能力．
解析　∵f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，
解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不符合题意．
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
而当x∈(1，4)时，f′(x)<0；
当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.
∴4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
∴a的取值范围是[5，7]．
16．已知f(x)＝在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析　因为f(x)＝x－＋，所以f′(x)＝1＋.
又f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
所以当x∈[1，＋∞)时，恒有f′(x)＝1＋≥0，
即a≥－x2，x∈[1，＋∞)．所以a≥－1.
故所求a的取值范围是[－1，＋∞)．
17．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0.
(1)试用含a
代数式表示b；
(2)求f(x)的单调区间．
分析　可先求f′(x)，再由f′(－1)＝0，可得用含a的代数式表示b，这时f(x)中只含一个参数a，然后令f′(x)＝0，求得两根，通过列表，求得f(x)的单调区间，并注意分类讨论．
解析　(1)依题意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b.
由f′(－1)＝0，得1－2a＋b＝0.∴b＝2a－1.
(2)由(1)，得f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x.
故f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)．
令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝1－2a.
①当a>1时，1－2a<－1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－2a)
(1－2a，－1)
(－1，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)．
②当a＝1时，1－2a＝－1，此时f′(x)≥0恒成立，且仅在x＝－1处f′(x)＝0，故函数f(x)的单调增区间为R.
③当a<1时，1－2a>－1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间(－1，1－2a)．
综上：当a>1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)；
当a＝1时，函数f(x)的单调增区间为R；
当a<1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1，1－2a)．
重点班·选做题
18．设函数f(x)＝(x>0且x≠1),求函数f(x)的单调区间；
解析　f′(x)＝－.
若f′(x)＝0，则x＝.
当f′(x)>0，即0当f′(x)<0，即1时，f(x)为减函数．
所以f(x)的单调增区间为(0，)，
单调减区间为[，1)和(1，＋∞)．