1.3.2 函数的极值与导数 同步练习2（含答案）

1.3.2
函数的极值与导数
同步练习
一、选择题
1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是(　　)
答案　A
解析　考查导函数的基本概念及导数的几何意义．
∵导函数f′(x)是增函数，
∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.
2．下面的命题中，正确的是(　　)
A．可导的奇函数的导函数仍是奇函数
B．可导的偶函数的导函数仍是偶函数
C．可导的周期函数的导函数仍是周期函数
D．可导的单调函数的导函数仍是单调函数
答案　C
解析　排除法．对于A，取y＝x3可验证其错误；对于B，取y＝x2可验证其错误；对于D取y＝x3可验证其错误．
3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sinx　　　　　　　　　
B．y＝xex
C．y＝x3－x
D．y＝lnx－x
答案　B
4．f(x)＝5x2－2x的单调增区间为(　　)
A．(，＋∞)
B．(－∞，)
C．(－，＋∞)
D．(－∞，－)
答案　A
5．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1，2)
D．[2，＋∞)
答案　B
解析　令k≤0，得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．
6．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2)
B．(0，3)
C．(1，4)
D．(2，＋∞)
答案　D
解析　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2.
7．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a，b，若aA．af(b)≤bf(a)
B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b)
D．bf(b)≤f(a)
答案　A
解析　构造函数g(x)＝，则g′(x)＝≤0，若g(x)＝不是常数函数，故g(x)＝在(0，＋∞)上递减，因0g(b)，即>，即af(b)若g(x)＝是常数函数，则g′(x)＝0恒成立．
故g(a)＝g(b)，即＝，
即af(b)＝bf(a)，综上af(b)≤bf(a)．
二、填空题
8．函数f(x)＝lg(4x－x2)的增区间是________．
答案　(0，2)
解析　∵函数的定义域为4x－x2>0，
∴0又∵f′(x)＝lg
e，令f′(x)>0，
∴4－2x>0，∴x<2.
∴09．函数y＝ax－lnx在(，＋∞)内单调递增，则a的取值范围为________．
答案　[2，＋∞)
解析　∵y′＝a－，∴在(，＋∞)上y′≥0，
即a－≥0，∴a≥.由x>，得<2.
要使a≥恒成立，只需a≥2.
10．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
答案　a<
解析　∵f′(x)＝且函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－2，＋∞)上恒成立．
∴a≤.
当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去．
∴a<.
三、解答题
11．设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0解析　由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0知f′(x)＝cosx＋sinx＋1.
于是f′(x)＝1＋sin(x＋)．
令f′(x)＝0，从而sin(x＋)＝－，
得x＝π，x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，π)
π
(π，)
(，2π)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
π＋2
单调递减
单调递增
因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)和(，2π)，单调递减区间是(π，)．
12．已知函数f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．
解析　f′(x)＝a＋－，
要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
只需f′(x)在(0，＋∞)内恒大于0或恒小于0.
当a＝0时，f′(x)＝－<0在(0，＋∞)内恒成立；
当a>0时，要使f′(x)＝a(－)2＋a－≥0恒成立，∴a－≥0，解得a≥1.
综上，a的取值范围为a≥1或a＝0.
13．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．
解析　(1)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)．
若k>0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
若k<0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
(2)由(1)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，即k≤1时，函数f(x)在(－1，1)内单调递增；
若k<0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，函数f(x)在(－1，1)内单调递增．
综上可知，函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增时，k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．
14．已知函数f(x)＝x3－ax－1，
(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1，1)；
(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．
解析　f′(x)＝3x2－a，
(1)∵f(x)的单调减区间是(－1，1)，
∴－1∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.
(2)∵f(x)在R上是增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵y＝3x2在R上的最小值为0.
∴a≤0.