1.3.3 函数的最大（小）值与导数 教案

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1.3.3
函数的最大（小）值与导数
教案
教学目标:
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点(包括端点)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；21世纪教育网版权所有
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点:
利用导数求函数的最大值和最小值的方法.
教学难点:
函数的最大值 最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.
教学过程:
一.新课讲授
观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象.图中与是极小值，是极大值.函数在上的最大值是，最小值是.21教育网
1.结论:一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值.21cnjy.com
说明:⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续.(可以不给学生讲)
⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如函数在内连续，但没有最大值与最小值；21·cn·jy·com
⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断；
⑷函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(可以不给学生讲)
2.“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性.www.21-cn-jy.com
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一.
⑶函数在其定义区间上的最大值 最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.
⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.2·1·c·n·j·y
3.利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值
二.典例分析
例1.(课本例5)求在的最大值与最小值
解:
由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，
因此，函数在的最大值是4，最小值是.
上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证.
三.课堂练习
1.下列说法正确的是(
)
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f′(x)
(
)
A.等于0
B.大于0
C.小于0
D.以上都有可能
3.函数y=，在[-1，
1]上的最小值为
(
)
A.0
B.-2
C.-1
D.
4.求函数在区间上的最大值与最小值.
5.课本练习
四.回顾总结
1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；
2.函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；
3.闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值
4.利用导数求函数的最值方法.
五.教后反思:
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