1.3.3 函数的最大（小）值与导数 同步练习1（含答案）

1.3.3
函数的最大(小)值与导数
同步练习
基础巩固训练
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.函数f(x)=x3-4x+4在区间[-3，4]上的最小值为(　　)
A.-
B.-12
C.-1
D.-9
【解题指南】先对函数f(x)求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后判断端点值和极值的大小进而得到最小值.
【解析】选C.因为f′(x)=x2-4，
所以由f′(x)=0，得x=±2.
因为f(-3)=7，f(-2)=，f(2)=-，f(4)=，所以f(x)min=f(2)=-，故选C.
2.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2，2]上有最大值3，则m的值是(　　)
A.-37
B.-29
C.-5
　
D.3
【解析】选D.f′(x)=6x2-12x，由f′(x)>0，得x<0或x>2，故f(x)max=f(0)=m，故选D.
3.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M=m，则f′(x)(　　)
A.等于0
B.小于0
C.等于1
D.不确定
【解析】选A.因为M=m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)=0，故选A.
4.已知a，b为正实数，函数f(x)=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[-1，0]上的最小值为(　　)
A.-
B.
C.-2
D.2
【解题指南】先求导函数f′(x)，再分别判断函数f(x)在区间[0，1]和[-1，0]上的单调性，从而求出最大值(含a，b的式子)，求出最小值(含a，b的式子)，最后将a+b整体代入即得结果.
【解析】选A.因为a，b为正实数，函数f(x)=ax3+bx+2x，所以导函数f′(x)=3ax2+b+2xln2，因为a，b为正实数，所以当0≤x≤1时，3ax2≥0，2xln2>0，所以f′(x)>0，即f(x)在[0，1]上是增函数，所以f(1)最大且为a+b+2=4 a+b=2
　
①
又当-1≤x≤0时，3ax2≥0，2xln2>0，
所以f′(x)>0，即f(x)在[-1，0]上是增函数，
所以f(-1)最小且为-(a+b)+　
②
将①代入②得f(-1)=-2+=-，故选A.
5.函数y=x+2sinx在区间上的最大值是(　　)
A.
B.　
C.+
D.以上都不对
【解析】选C.y=x+2sinx，则y′=1+2cosx.当x∈时，y′>0，此时函数y=x+2sinx单调递增；当x∈时，y′<0，此时函数y=x+2sinx单调递减.所以当x=时，y=x+2sinx取到最大值为+，故选C.
【误区警示】此题易出现直接把两个端点的函数值作为最大值或最小值的错误.
6.已知函数f(x)=x2-2x+loga在内恒小于零，则实数a的取值范围是(　　)
A.≤a<1
B.0C.0D.a≥
【解题指南】求出函数f(x)的定义域，f(x)在内恒小于零等价于f(x)max<0，求出导数f′(x)，分01两种情况利用导数求出f(x)的最大值即可.
【解析】选A.f(x)=x2-2x+loga，
因为a>0，且>0，
所以定义域为{x|x>1}，f′(x)=2x-2-.
①当0所以在x∈时，f′(x)>0，函数f(x)在上是增函数，
要满足题意，须f≤0，即：-3+loga(2a)≤0，
即：loga2≤-，解得：a≥.
又0②当a>1时，由f′(x)=0得：x=1+，
当x<1+时，f′(x)<0，
当x>1+时，f′(x)>0，
由此得函数f(x)在x<1+时是减函数，
在x>1+时是增函数，
而f=-3+loga(2a)=loga2+>0，
所以a>1时，不能保证在内f(x)恒小于0，故a>1不合题意，舍去.
综上，所求实数a的取值范围为≤a<1.故选A.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.当x∈[-1，1]时，函数f(x)=的值域是__________.
【解析】因为f′(x)==，
所以f(x)在区间(-1，0)上是减函数，f(x)在区间(0，1)上是增函数，所以当x=0时，f(x)取得最小值0.因为f(-1)=e，f(1)=，显然最大值为e，
所以f(x)的值域为[0，e].
答案：[0，e]
8.已知函数f(x)=x3-3x+m在区间[-3，0]上的最大值与最小值的和为-1，则实数m的值为__________.
【解题指南】求出函数的导函数令其等于零求出函数的极值点，分区间讨论函数的增减性得到函数的最值，求出m即可.
【解析】据题意可知，f′(x)=3x2-3，令f′(x)=0得x=±1；
因为函数在区间[-3，0]上有最值，所以x=1舍去，x=-1.
①-30，函数为增函数；
②x=-1时，f′(x)=0，
所以f(x)极大值为f(-1)=2+m.
③-1又因为f(-3)=-18+m，
f(0)=m且-18+m所以f(x)的最大值为f(-1)=2+m，
最小值为f(-3)=-18+m，
函数f(x)=x3-3x+m在区间[-3，0]上的最大值与最小值的和为-1，
所以m+2+(-18+m)=-1，2m=15，m=7.5.
答案：7.5
9.若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞)上的最大值为，则a的值为__________.
【解析】f′(x)==，
令f′(x)=0，解得x=或x=-(舍去)，
当x>时，f′(x)<0；当00；
当a>1时，f(x)max=f()==，=<1，不合题意，所以0所以f(x)max=f(1)==，解得a=-1.
答案：-1
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16.
(1)求a，b的值.
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[-3，3]上的最小值.
【解析】(1)因f(x)=ax3+bx+c，故f′(x)=3ax2+b，
由于f(x)在点x=2处取得极值，
故有即
化简得解得
(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c，f′(x)=3x2-12，
令f′(x)=0，得x1=-2，x2=2，
当x∈(-∞，-2)时，f′(x)>0，
故f(x)在(-∞，-2)上为增函数；
当x∈(-2，2)时，f′(x)<0，故f(x)在(-2，2)上为减函数；
当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，+∞)上为增函数.
由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c，f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16，由题设条件知16+c=28，得c=12，此时f(-3)=9+c=21，f(3)=-9+c=3，f
(2)=c-16=-4，因此f(x)在[-3，3]上的最小值为f(2)=-4.
【变式训练】已知函数f(x)=mx3+nx，y=f(x)的图象以点P为切点的切线的倾斜角为.
(1)求m，n的值.
(2)求函数y=f(x)在[-2，1]上的最大值和最小值.
【解题指南】(1)求导函数，利用y=f(x)的图象以点P为切点的切线的倾斜角为，建立方程组，即可求得m，n的值.
(2)求导函数，确定极值点，求出端点函数值与函数的极值，即可求得函数y=f(x)在[-2，1]上的最大值和最小值.
【解析】(1)求导函数，可得f′(x)=3mx2+n，
由题意有
解得m=，n=-1.
(2)由(1)知f(x)=x3-x，
所以f′(x)=2x2-1，令f′(x)=2x2-1=0，可得x=±.
列表
x
-2
-
1
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
-
↗
极大值
↘
极小值-
↗
-
由上表可知f(x)的最大值为，最小值为-.
11.设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).
(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间.
(2)当k∈时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.
【解析】(1)当k=1时，f(x)=(x-1)ex-x2，求导可得f′(x)=xex-2x=x(ex-2)，令f′(x)=0可得x=0，x=ln2，则当x<0时，f′(x)>0；当0ln2时，f′(x)>0；所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞，0)，(ln2，+∞)，单调递减区间是(0，ln2).
(2)对f(x)=(x-1)ex-kx2求导可得f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k)，因为k∈，所以2k∈(1，2]，令f′(x)=0可得x=0，x=ln(2k)，显然00.当x>ln(2k)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间是(ln(2k)，+∞)，单调递减区间是(0，ln(2k)).
令g(k)=ln(2k)-k，则g′(k)=-1=≥0，又当k=1时，g′(k)=
0，所以g(k)在上递增，所以g≤ln2-1=ln2-lne<0，从而ln(2k)0；所以M=max=max，
令h(k)=(k-1)ek-k3+1，则h′(k)=k(ek-3k)，
令φ(k)=ek-3k，则φ′(k)=ek-3≤e-3<0，
所以φ(k)在上递减，而φ·φ(1)=(e-3)<0，
所以存在k0∈使得φ(k0)=0，且当k∈时，φ(k)>0，
当k∈(k0，1)时，φ(k)<0，
所以h(k)在上单调递增，在(k0，1)上单调递减.
因为h=-+>0，h(1)=0，
所以h(k)≥0在上恒成立，当且仅当k=1时取得“=”.
综上，函数f(x)在上的最大值M=(k-1)ek-k3.
能力提升训练
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知a>0，设函数f(x)=+sinx(x∈[-a，a]的最大值为M，最小值为N)，那么M+N=(　　)
A.0
B.2014
C.4028
D.4029
【解析】选C.因为f(x)=+sinx，
设g(x)=，
则g(x)==2015-，
因为2015x是R上的增函数，所以g(x)是R上的增函数.函数g(x)在[-a，a]上的最小值是g(-a)，最大值是g(a).
函数sinx是奇函数，它在[-a，a]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0，
所以函数f(x)的最大值M与最小值N之和M+N=g(a)+g(-a)=+
2015-
=4030-
=4030-
=4030-2=4028，故选C.
2.已知f(x)=x3-ax在[1，+∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.f′(x)=3x2-a≥0在[1，+∞)上恒成立，
即：a≤3x2在[1，+∞)上恒成立，而(3x2)min=3×12=3.
所以a≤3，故amax=3.故选D.
3.已知函数f(x)=x3-x2-3x+，直线l1：9x+2y+c=0，若当x∈[-2，2]时，函数y=f(x)的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是(　　)
A.(0，+∞)
B.(-∞，-6)
C.(-6，+∞)
D.(-∞，0)
【解题指南】先根据题意得到不等式x3-x2-3x+<-x-，然后转化为c<-x3+2x2-3x-成立，即求在闭区间上的最小值问题；先对函数g(x)=-x3+2x2-3x-求导判断单调性，即可求出最小值，进而得到答案.
【解析】选B.因为当x∈[-2，2]时，f(x)=x3-x2-3x+恒在直线9x+2y+c=0的下方，
所以x3-x2-3x+<-x-在x∈[-2，2]上恒成立，即c<-x3+2x2-3x-在x∈[-2，2]上恒成立，
令g(x)=-x3+2x2-3x-，
所以g′(x)=-2x2+4x-3.
因为g′(x)=-2x2+4x-3<0恒成立，
所以函数g(x)单调递减，
函数g(x)在x∈[-2，2]上的最小值为g(2)=-6.
所以c<-6即可满足条件.
4.若0(　　)
A.4x>3sin2x
B.4x<3sin2x
C.4x=3sin2x
D.与x的取值有关
【解析】选D.令2x=t，因为0所以t∈，
则4x=2t，3sin2x=3sint，
令f(t)=2t-3sint，则f′(t)=2-3cost，
由f′(t)=2-3cost>0，得cost<，
由f′(t)=2-3cost<0，得cost>，
因此2t与3sint的大小与t的取值有关，亦即4x与3sin2x的大小与x在区间上的取值有关.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]总有f(x)≥0成立，则a=__________.
【解析】若x=0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x>0即x∈(0，1]时，f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-，设g(x)=-，则g′(x)=，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max=g=4，从而a≥4；
当x<0即x∈[-1，0)时，f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤-，设g(x)=-，则g′(x)=，所以g(x)在区间[-1，0)上单调递增，因此g(x)min=g(-1)=4，从而a≤4.
综上，a=4.
答案：4
6.设直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=lnx的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为__________.
【解析】设函数y=f(x)-g(x)=x2-lnx，
求导数得y′=2x-=，
当0当x>时，y′>0，函数在上为单调增函数，
所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，
所求t的值为.
答案：
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，
f′(1)=0，曲线y=f(x)在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若对于任意实数α和β，不等式|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立，求m的最小值.
【解析】(1)由题意有f(0)=c=0，f′(x)=3x2+2ax+b且f′(1)=3+2a+b=0，　①
又曲线y=f(x)在原点处的切线的斜率k=f′(0)=b，
而直线y=2x+3到此切线所成的角为135°，
所以=-1.　
②
联立①②解得a=0，b=-3，所以f(x)=x3-3x.
(2)|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立等价于|f(x)max-f(x)min|≤m，由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，故只需求出f(x)=x3-3x在[-2，2]上的最值，而f′(x)=3x2-3，由f′(x)=0得x=±1，列表如下：
x
-2
(-2，-1)
-1
(-1，1)
1
(1，2)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
-2
↗
2
↘
-2
↗
所以f(x)max=2，f(x)min=-2，所以|f(x)max-f(x)min|=4≤m，所以m的最小值为4.
8.已知函数f(x)=lnx-ax+b，其中a，b∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)若a=1，b∈[0，2]，且存在实数k，使得对任意的实数x∈[1，e]，恒有f(x)≥kx-xlnx-1，求k-b的最大值.
【解题指南】(1)求导数f′(x)，分a≤0，a>0两种情况讨论f(x)的单调性.
(2)将不等式f(x)≥kx-xlnx-1转化为+lnx+≥k.记g(x)=+lnx+，x∈[1，e].根据b的取值分0【解析】(1)由题意知，f′(x)=-a=(x>0).
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以函数f(x)=lnx-ax+b在(0，+∞)上单调递增；
当a>0时，函数在上单调递增，在上单调递减.
(2)不等式f(x)≥kx-xlnx-1，
等价于+lnx+≥k.
记g(x)=+lnx+，x∈[1，e].
则g′(x)=，其中f(x)=lnx-x+b.
由(1)知函数f(x)在(0，1)上单调递增，
在(1，+∞)上单调递减，且f(1)=b-1.
①若0g′(x)=≥0.
即函数g(x)=+lnx+在区间[1，e]上单调递增.
则有k≤g(1)=b，此时k-b≤0.
②若
即b≥e-1时，g′(x)=-≤0.
即函数g(x)=+lnx+在区间[1，e]上单调递减.
则有k≤g(e)=，
此时k-b≤-b=+b≤2+-e<0.
③当1则函数g(x)=+lnx+在区间[1，x0]上单调递减，在区间[x0，e]上单调递增.
从而k≤g(x0)=+lnx0+，
其中f(x0)=lnx0-x0+b=0.
所以k-b≤lnx0+-b=2lnx0+-x0，x0∈(1，e).
令y=2lnx0+-x0，x0∈(1，e)，
则y′=--1=-<0，
所以k-b<0.
综上，当k=b且0