1.3.3 函数的最大（小）值与导数 同步练习2（含答案）

1.3.3
函数的最大（小）值与导数
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．12；－8
B．1；－8
C．12；－15
D．5；－16
[答案]　A
[解析]　y′＝6x2－6x－12，由y′＝0 x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1；x＝－1时y＝12；x＝1时y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
2．如图是函数y＝f(x)的导函数f
′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)
A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数
B．在(1，3)上f(x)是减函数
C．在(4，5)上f(x)是增函数
D．当x＝4时，f(x)取极大值
[答案]　C
[解析]　由导函数y＝f
′(x)的图象知，f(x)在(－2，1)上先减后增，在(1，3)上先增后减，在(4，5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C.
3．已知函数f(x)(x∈R)满足f
′(x)＞f(x)，则(　　)
A．f(2)B．f(2)≤e2f(0)
C．f(2)＝e2f(0)
D．f(2)>e2f(0)
[答案]　D
[分析]　所给四个选项实质是比较f(2)与e2f(0)的大小，即比较与的大小，故构造函数F(x)＝解决．
[解析]　设F(x)＝，则F′(x)＝>0，
∴F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)，
∴>，
即f(2)>e2f(0)．
4．函数f(x)＝x(1－x2)在[0，1]上的最大值为(　　)
A．
B．
C．
D．
[答案]　A
[解析]　f
′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0，1]，
∵f＝，f(0)＝f(1)＝0.
∴f(x)max＝.
5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则(　　)
A．a>－3
B．a<－3
C．a>－
D．a<－
[答案]　B
[解析]　y′＝aeax＋3，由条件知，方程aeax＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－<1，∴a<－3.
6．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是(　　)
A．(0，1)
B．(－∞，1)
C．(0，＋∞)
D．(0，)
[答案]　D
[解析]　f
′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0，1)内有极小值，
∴在(0，1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f
′(x)<0，在(x0，1)内f
′(x)>0，由f
′(x)＝0得，x2＝2b>0，
∴∴07．已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f
′(x)>0的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，2)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)
[答案]　D
[解析]　由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f
′(x)>0，在(－1，1)上f
′(x)<0，在(1，＋∞)上f
′(x)>0，
又x2－2x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－3<0的解集为(－1，3)．
∴不等式(x2－2x－3)f
′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)．
二、填空题
8．曲线y＝在点
(1，1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
[答案]　2－1
[解析]　y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2，0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，
∴所求最近距离为2－1.
9．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．
[答案]　6
[解析]　f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，
f
′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f
′(2)＝0解得c＝2或6.
当c＝2时，f
′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，
故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；
当c＝6时，f
′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)
＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a、b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值．
[解析]　(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f
(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f
′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f
′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得
∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f
′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f
′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f
′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2，)
(，1)
1
f
′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
增
极大值
减
极小值
增
4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f()＝，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3，1]上的最大值为13.
能力拓展提升
一、选择题
11．函数f(x)＝x4－4x
(|x|<1)(　　)
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值
[答案]　D
[解析]　f
′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．
令f
′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1，1)且1 (－1，1)，
∴该方程无解，
故函数f(x)在(－1，
1)上既无极值也无最值．故选D.
12．函数f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y＝f
′(x)的图象可能为(　　)
[答案]　C
[解析]　由图象知，f(x)在x<0时，图象增→减→增，x>0时，单调递增，故f
′(x)在x<0时，其值为＋→－→＋，在x>0时为＋，故选C.
13．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3
B．－3C．－2D．不存在这样的实数
[答案]　B
[解析]　因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－214．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f
′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，
又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3，
∴a≥－3，故应选B.
二、填空题
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是________．
[答案]　(－1，0)∪(1，＋∞)
[解析]　令g(x)＝(x≠0)，
∵x>0时，>0，
∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上g(x)>0的解集为(1，＋∞)，∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上g(x)<0的解集为(－1，0)，由x2f(x)>0得f(x)>0，∴f(x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．
三、解答题
16．设函数f(x)＝ex－x2－x.
(1)若k＝0，求f(x)的最小值；
(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．
[解析]　(1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f
′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f
′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f
′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f(x)的最小值为f(0)＝1.
(2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域为R.
∴f
′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，
由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴g(x)min＝g(0)＝0，即f
′(x)min＝0，故f
′(x)≥0.
所以f(x)在R上单调递增．
17．设函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)若x＝1时，函数f(x)取得极值，求函数f(x)的图像在x＝－1处的切线方程；
(2)若函数f(x)在区间(，1)内不单调，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)f
′(x)＝3x2＋2ax＋1，由f
′(1)＝0，
得a＝－2，
∴f(x)＝x3－2x2＋x＋1，当x＝－1时，y＝－3，
即切点(－1，－3)，
k＝f
′(x0)＝3x－4x0＋1令x0＝－1得k＝8，
∴切线方程为8x－y＋5＝0.
(2)f(x)在区间(，1)内不单调，即f
′(x)＝0在(，1)有解，所以3x2＋2ax＋1＝0，2ax＝－3x2－1，
由x∈(，1)，2a＝－3x－，令h(x)＝－3x－，
∴h′(x)＝－3＋<0，知h(x)在(，
1)单调递减，在(，]上单调递增，所以h(1)即h(x)∈[－4，－2]，－4≤2a≤－2，
即－2f
′(x)＝3x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴舍去，
综上a∈(－2，－)．