1.3.3 函数的最大（小）值与导数 同步练习3（含答案）

1.3.3
函数的最大（小）值与导数
同步练习
一、选择题
1．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数(　　)
A．2　　　　　　　　　　　
B．1
C．0
D．由a确定
答案　C
解析　f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0恒成立．f(x)单调，故无极值点．
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案　A
解析　导数的图像看符号，先负后正的分界点为极小值点．
3．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围(　　)
A．m>0
B．m<0
C．m>1
D．m<1
答案　B
解析　y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
4．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝(　　)
A.
B．－
C．－ln2
D．ln2
答案　B
解析　由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.
令y′＝0，得2x(1＋x·ln2)＝0.
∵2x＞0，∴x＝－.
5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则(　　)
A．0＜b＜1
B．b＜1
C．b＞0
D．b＜
答案　A
解析　f(x)在(0，1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0，1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0.
∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1.
综上，b的范围为0＜b＜1.
6．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A．－1＜a＜2
B．－3＜a＜0
C．a＜－1或a＞2
D．a＜－3或a＞6
答案　D
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
∵f(x)有极大值和极小值，
∴f′(x)＝0有两个不等实根．
∴Δ＝4a2－4·3(a＋6)＞0，即(a－6)(a＋3)＞0，
解得a＞6或a＜－3.
7．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1，0)，则极小值为(　　)
A．0
B．－
C．－
D．1
答案　A
解析　f′(x)＝3x2－2px－q，
由题知f′(1)＝3－2p－q＝0.
又f(1)＝1－p－q＝0，
联立方程组，解得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，
解得x＝1或x＝.
经检验知x＝1是函数的极小值点．
∴f(x)极小值＝f(1)＝0.
8．三次函数当x＝1时，有极大值4，当x＝3时，有极小值0，且函数图像过原点，则此函数可能是(　　)
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．
y＝x3＋6x2－9x
答案　B
解析　三次函数过原点，且四个选项中函数的最高次项系数均为1，
∴此函数可设为f(x)＝x3＋bx2＋cx.
则f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由题设知
解得
∴f(x)＝x3－6x2＋9x.
∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．
可以验证当x＝1时，函数取得极大值4；当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．
9．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是(　　)
A．(a，b)
B．(a，c)
C．(b，c)
D．(a＋b，c)
答案　A
解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知x＝1和x＝－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，则1－1＝－，得b＝0.
二、填空题
10．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
答案　3
解析　f′(x)＝
＝＝，
因为函数f(x)在x＝1处取得极值，
所以f′(1)＝＝0，解得a＝3.
11．设函数f(x)＝x·(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝________.
答案　6
解析　f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
∵f(x)在x＝2处有极大值，∴f′(2)＝0，即
c2－8c＋12＝0，解得c1＝2，c2＝6.
当c＝2时，则f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)．
当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)递增不合题意，
∴c≠2，∴c＝6.
12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的编号是________．(写出所有不正确说法的编号)
(1)当x＝时函数取得极小值；
(2)f(x)有两个极值点；
(3)c＝6；
(4)当x＝1时函数取得极大值．
答案　(1)
解析　f′
(x)的符号为正→负→正，
则f(x)的单调性为增→减→增．
草图如右图．
三、解答题
13．设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解析　(1)f′(x)＝5x4＋3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝5＋3a＋b＝0，
f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0.
解得a＝－，b＝20.
(2)由(1)知f′(x)＝5x4－25x2＋20＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)．
当x∈(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈(－2，－1)∪(1，2)时，f′(x)<0.
因此，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(－1，1)，(2，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(－2，－1)，(1，2)．
14．一个三次函数y＝f(x)，当x＝3时取得极小值y＝0，又在此函数的曲线上点(1，8)处的切线经过点(3，0)，求函数f(x)的表达式．
解析　由题意，点(3，0)在曲线上，故可设y＝a(x－3)3＋b(x－3)2＋c(x－3)．
∵当x＝3时，y取得极小值，∴y′|x＝3＝0.
而y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)＋c，把x＝3代入得c＝0.
∴y＝a(x－3)3＋b(x－3)2，
y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)．
∵曲线过点(1，8)，∴－8a＋4b＝8.①
∵曲线在点(1，8)处的切线经过点(3，0)，
∴该切线的斜率k＝＝－4.
另一方面，应有k＝y′|x＝1，
从而12a－4b＝－4.②
由①②两式解得a＝1，b＝4.
∴y＝(x－3)3＋4(x－3)2，即y＝x3－5x2＋3x＋9.
15．已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)
(1)当a＝1时，求函数f(x)在点x＝1处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值；
(3)若函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数，试确定a的取值范围．
解析　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－lnx，f′(x)＝2x－，
f′(1)＝1，又f(1)＝1，∴切线方程为y＝x.
(2)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)不存在极值．
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，当x>时，f′(x)>0，当x<时，f′(x)<0，
∴当x＝时，f(x)有极小值－ln.
(3)∵f(x)在(2，＋∞)上递增，∴f′(x)＝2x－≥0对x∈(2，＋∞)恒成立，即a≤2x2恒成立．∴a≤8.
16．求函数f(x)＝的极值．
分析　首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．
解析　函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
由导数公式表和求导法则，得f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
下面分两种情况讨论：
(1)当f′(x)>0时，0(2)当f′(x)<0时，x>e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
↘?
故当x＝e时函数取得极大值，且极大值为f(e)＝.
17．已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在(－1，1)上是增函数，求a的取值范围．
解析　(1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．
当a＝时，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，f(x)在(－∞，－2)内单调减，在(－2，＋∞)内单调增，在x＝－2时，f(x)有极小值．
所以f(－2)＝－12是f(x)的极小值．
(2)在(－1，1)上，f(x)单调增加，当且仅当f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0，①
(ⅰ)当a＝0时①恒成立；
(ⅱ)当a＞0时①成立，当且仅当3a·12＋3a·1－1≤0.
解得a≤.
(ⅲ)当a＜0时①成立，即3a(x＋)2－－1≤0成立，当且仅当－－1≤0.解得a≥－.
综上，a的取值范围是[－，]．
重点班·选做题
18．已知函数f(x)＝x3－x2＋(a＋1)x＋1，其中a为实数．
(1)已知函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
(2)已知不等式f′(x)>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，求实数x的取值范围．
解析　(1)f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，
由于函数f(x)在x＝1时取得极值，所以f′(1)＝0，即a－3＋a＋1＝0，∴a＝1.
(2)方法一　由题设知：ax2－3x＋a＋1>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，
即a(x2＋2)－x2－2x>0对任意a∈(0，＋∞)都成立．
设g(a)＝a(x2＋2)－x2－2x(a∈R)，则对任意x∈R，g(a)为单调递增函数(a∈R)．
所以对任意a∈(0，＋∞)，g(a)>0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0，即－x2－2x≥0，∴－2≤x≤0.
于是x的取值范围是{x|－2≤x≤0}．
方法二　由题设知：ax2－3x＋a＋1>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，
即a(x2＋2)－x2－2x>0对任意a∈(0，＋∞)都成立．
于是a>对任意a∈(0，＋∞)都成立，即≤0.所以－2≤x≤0.
所以x的取值范围是{x|－2≤x≤0}．
教师备选题
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值
答案　C
2．根据图像指出下列函数的极值点．
①y＝x＋(x≠0)；
②y＝|lg|x－1||.
答案　①(2，4)极小值点，(－2，－4)极大值点．
②(0，0)，(2，0)极小值点．
3．求函数y＝的极值．
解析　∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2.
∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
(1，2)
2
(2，＋∞)
y′
＋
0
－
＋
0
＋
y
?
极大值
↘
?
非极值
?
故当x＝－1时，y有极大值，为－.