1.3.4 函数与导数综合问题 同步练习（含答案）

1.3.4
函数与导数综合问题
同步练习
一、选择题
1．方程2x3－6x2＋7＝0
在区间(0，2)内根的个数为(　　)
A．0个　　
B．1个　　
C．2个
D．3个
解析：设f(x)＝2x3－6x2＋7，则
f′(x)＝6x2－12x，当x∈(0，2)时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，2)内单调递减．
又f(0)＝7，f(2)＝－1，
∴方程在(0，2)内只有1个根．
答案：B
2．若f′(x)＝4x3＋2，则f(x)可能是(　　)
A．f(x)＝4x4＋2
B．f(x)＝x4＋2
C．f(x)＝x4＋2x＋1
D．f(x)＝4x4＋2x
答案：C
3．函数y＝的最大值为(　　)
A．e－1
B．e
C．e2
D.
答案：A
4．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＜0)在R上为减函数，则(　　)
A．b2－4ac≥0
B．b＞0，c＞0
C．b＝0，c＞0
D．b2－3ac≤0
答案：D
二、填空题
5．若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝2ax＋4，f(x)在[0，2]上有最大值f(2)，则要求f(x)在[0，2]上单调递增，则2ax＋4≥0在[0，2]上恒成立．当a≥0时，2ax＋4≥0恒成立．当a＜0时，要求4a＋4≥0恒成立，即a≥－1，所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
6.
已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得∈(－2，－1)，故m∈(－4，－2)．
答案：(－4，－2)
7．f(x)＝x3－12x＋8在[－3，3]上的最大值为M，最小值为m，则M
－m＝__________.
解析：f′(x)＝3x2－12.由f′(x)＞0得x>2或x<－2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.
所以f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增．
又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以最大值M
＝24，最小值m＝－8，
所以M－m＝32.
答案：32
8．已知函数f(x)＝(x2－2x)ex，下列说法中正确的有__________(填序号)．
①f(x)在R上有两个极值点
②f(x)在x＝处取得最大值
③f(x)在x＝处取得最小值
④f(x)在x＝处取得极小值
⑤f(x)在R上有三个不同的零点
解析：f′(x)＝ex(x2－2)，令f′(x)＝0得x＝±.当x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0，故函数在x＝处取得极小值，在x＝－处取得极大值，又f(－)＝(2＋2)e＞0，f()＝(2－2)e＜0，函数在R上有三个不同的零点．
答案：①④⑤
三、解答题
9．在曲线y＝x3＋x－2上，哪一点的切线与直线
y＝－x＋1垂直？
解析：设切点为(x0，y0)，对y＝x3＋x－2求导得y′＝3x2＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝x0＝3x＋1＝4，
解得x0＝－1或x0＝1，
所以切点为(－1
，－
4)或(1，0)．
10．设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以，f(x)在(－∞，ln
a)上单调递减，在(ln
a，＋∞)上单调递增．
(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′
(x)＋x＋1＞0，求k的最大值．
解析：由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.
故当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0等价于k＜＋x(x＞0)．①
令g(x)＝＋x，
则g′(x)＝＋1＝.
由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)＜0，h(2)＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为a，则a∈(1，2)．
当x∈(0，a)时，g′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，g′(x)＞0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(a)．又由g′(a)＝0，可得ea＝a＋2，所以g(a)＝a＋1∈(2，3)．由于①式等价于k＜g(a)，故整数k的最大值为2.