1.4 生活中的优化问题举例 同步练习1（含答案）

1.4
生活中的优化问题举例
同步练习
一、选择题
1．函数f(x)＝x＋2cosx在区间[－，0]上的最小值是(　　)
A．－　　　　　　　
B．2
C.＋
D.＋1
答案　A
2．函数f(x)＝x3－3x2＋3x(－1A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也无最小值
C．无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
答案　C
3．函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为(　　)
A．－1
B．1
C．0
D．e
答案　A
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如下图，则导数y＝f′(x)的图像可能为下图中的(　　)
答案　D
5．已知对任意实数x有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)
A．f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0
D．f′(x)<0，g′(x)<0
答案　B
6．函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致是(　　)
答案　A
解析　∵f(x)＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx.
∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数．
∴函数图像关于y轴对称．
由f′(0)＝1可排除C、D选项．
而f′(1)＝cos1－sin1<0，
从而观察图像即可得到答案为A.
二、填空题
7．函数f(x)＝x2－(x<0)的最小值是________．
答案　
8．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0，1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．
答案　(－∞，－1]
解析　f′(x)＝2x＋2a，
f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)，说明f(x)在[0，1]上单调递减，
∴x∈[0，1]时f′(x)≤0恒成立．
∴a≤－x，∴a≤－1.
9．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为________．
答案　略
10．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图像有三个相异的交点，则a的取值范围是________．
答案　(－2，2)
解析　f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可以得x＝1或－1.
∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－211．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
答案　[－4，－2]
解析　f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
三、解答题
12．求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝sin2x－x，x∈[－，]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数．
解析　(1)因为f(x)＝sin2x－x，所以f′(x)＝2cos2x－1.
又x∈[－，]，令f′(x)＝0，
解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得函数f(x)的最大值为，最小值为－.
(2)f′(x)＝()′－(ex)′＝－－ex＝－.
当x∈[0，a]时，f′(x)<0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是减函数．
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f′(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
13．已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1，2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．
解析　由f(x)－m<0，即m>f(x)恒成立，
知m>f(x)max.
f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，
解得x＝－或x＝1.
因为f(－)＝，f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5，
所以f(x)的最大值为5，故m的取值范围为(5，＋∞)．
14．设函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解析　(1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．
由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2.
∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间．
由x(x＋2)<0，得－2∴(－2，0)为f(x)的减区间．
∴f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；
单调减区间为(－2，0)．
(2)令f′(x)＝x(x＋2)＝0，得x＝0或x＝－2.
∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，
∴f(x)∈[0，2e2]．
又∵f(x)>m恒成立，∴m<0.
故m的取值范围为(－∞，0)．
15．设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g()的大小关系．
解析　(1)由题设易知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋，
∴g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，g′(x)<0，故(0，1)是g(x)的单调减区间．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．
∴x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而也是最小值点，∴最小值为g(1)＝1.
(2)g()＝－lnx＋x，
设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，
则h′(x)＝－.
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()．
当x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当0h(1)＝0，即g(x)>g()；
当x＝1时，g(x)＝g()；
当x>1时，h(x)16．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1，3)．
(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；
(2)当x∈[2，3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．
解析　(1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
＝3a(x－1)(x－3)(a<0)，
∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数，在(1，3)上f′(x)>0，f(x)是增函数，在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数．
因此f(x)在x0＝1处取得极小值－4，在x＝3处取得极大值．
∴
解得a＝－1，b＝6，c＝－9.
∴f(x)＝－x3＋6x2－9x.
∴f(x)在x＝3处取得极大值f(3)＝0.
(2)g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x＝－3(x2－2mx＋3)，
g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m.
①当2≤m≤3时，g(x)max＝g(m)＝3m2－9；
②当m<2时，g(x)在[2，3]上是递减的，g(x)max＝g(2)＝12m－21；
③当m>3时，g(x)在[2，3]上是递增的，g(x)max＝g(3)＝18m－36.
因此g(x)max＝
17．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．
解析　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，
f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m.
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0，1)
1
(1，2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
?
极大值1－m
↘
∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m，h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立，即g(t)<0在(0，2)内恒成立，
即1－m<0，解得m>1，所以m的取值范围为(1，＋∞)．
18．已知函数f(x)＝ax2－blnx＋在x＝x0处取得极小值1＋ln2，其导函数f′(x)的图像如图所示．求x0，a，b的值．
解析　由图可知x0＝.
∴当x＝时，f(x)极小值为1＋ln2.
∴a－bln＋＝1＋ln2.
∴a＋4bln2＝2＋4ln2.①
又∵f′(x)＝2ax－，
∴f()＝2a×－2a＝0.
∴a＝2b.②
由①②解得b＝1，a＝2.