1.4 生活中的优化问题举例 同步练习2（含答案）

1.4
生活中的优化问题举例
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为(　　)
A．cm　　　　　　　
B．cm
C．cm
D．cm
[答案]　D
[解析]　设圆锥的高为x，则底面半径为，
其体积为V＝πx(400－x2)　(0＜x＜20)，
V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.
当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0，
所以当x＝时，V取最大值．
2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)
A．2和6　　　　　　　
B．4和4
C．3和5
D．以上都不对
[答案]　B
[解析]　设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3，0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当40，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．
3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3?4，那么容器容积最大时，高为(　)
A．0.5m
B．1m
C．0.8m
D．1.5m
[答案]　A
[解析]　设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，
由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m.
4．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　)
A．R　　　
B．2R　
　
C．R　　
D．R
[答案]　C
[解析]　设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，
V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.
当00；当因此当h＝R时，圆锥体积最大．故应选C.
5．设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为(　　)
A．
B．
C．
D．2
[答案]　D
[解析]　设底面圆半径为r，高为h，则V＝πr2h，
∴h＝.∴S表＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·＝2πr2＋.
∴S表′＝4πr－，令S表′＝0得，r＝，
又当x∈(0，)时，S表′<0；当x∈(，V)时，S表′>0，∴当r＝时，表面积最小．
6．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A．8
B．
C．－1
D．－8
[答案]　C
[解析]　瞬时变化率即为f
′(x)＝x2－2x为二次函数，且f
′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0，5]，
故x＝1时，f
′(x)min＝－1.
二、填空题
7．面积为S的矩形中，其周长最小的矩形边长是_________．
[答案]　
[解析]　设矩形的一边边长为x，则另一边边长为，
其周长为l＝2x＋，x＞0，l′＝2－，
令l′＝0，解得x＝，易知，当x＝时，其周长最小．
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．
[答案]　3
[解析]　设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π，
∴S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3，
∴当R＝3时，S表最小．
9.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．
[答案]　1?1
[解析]　设窗户面积为S，周长为L，则S＝x2＋2hx，h＝－x，∴窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋，
∴L′＝＋2－.
由L′＝0，得x＝，x∈时，L′<0，x∈时，L′>0，∴当x＝时，L取最小值，此时＝＝－＝－＝1.
三、解答题
10．永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．
[解析]　(1)由条件可得
解得a＝－，b＝1，
则f(x)＝－＋x－ln(x≥10)．
(2)T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln(x≥10)，
则T′(x)＝＋－＝－，
令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，
当x∈(10，50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10，50)上是增函数；
当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，
∴当x＝50时，T(x)取最大值．
T(50)＝－＋×50－ln＝24.4(万元)．
即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元．
能力拓展提升
一、选择题
11．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(　　)
A．10
B．15
C．25
D．50
[答案]　C
[解析]　如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.
12．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为(　　)
A．2πr2
B．πr2
C．4πr2
D．πr2
[答案]　A
[解析]　设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，
则S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.
∴S＝4π.
令(r2r－r)′＝0得r1＝r.
此时S＝4π·r·
＝4π·r·r＝2πr2.
13．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋4x＋，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．3万件
B．1万件
C．2万件
D．7万件
[答案]　C
[解析]　本题考查了导数的应用及求导运算．
∵x>0，y′＝－x2＋4＝(2－x)(2＋x)，
令y′＝0，解得x＝2，所以x∈(0，2)时，y′>0，
x∈(2，＋∞)时，y′<0，y先增后减．
∴x＝2时函数取最大值，选C.
二、填空题
14．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1
200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．
[答案]　25
[解析]　设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
由题知a＝.总利润y＝500－x3－1200(x>0)，y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，x∈(0，25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
15．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为________元．
[答案]　85
[解析]　设每件商品定价x元，依题意可得
利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．
L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝＝85.
因为在(0，200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．
三、解答题
16．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝＋4(x－6)2，其中2(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)
[解析]　(1)因为x＝4时，y＝21，
代入关系式y＝＋4(x－6)2，得＋16＝21，
解得m＝10.
(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝＋4(x－6)2，
所以每日销售套题所获得的利润
f(x)＝(x－2)[＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2从而f
′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2令f
′(x)＝0，得x＝，且在(0，)上，f
′(x)>0，函数f(x)单调递增；在(，6)上，f
′(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以x＝是函数f(x)在(2，6)内的极大值点，也是最大值点，
所以当x＝≈3.3时，函数f(x)取得最大值．
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．
17．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝x3－x＋8(0(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？
(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？
[解析]　(1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝小时，
要耗油(×643－×64＋8)×＝11.95(升)．
(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，
(x3－x＋8)×＝22.5，
∴a＝，
设h(x)＝x2＋－，
则当h
(x)最小时，a取最大值，
h′(x)＝x－＝，
令h′(x)＝0 x＝80，
当x∈(0，80)时，h′(x)<0，当x∈(80，120)时，h′(x)>0，
故当x∈(0，80)时，函数h(x)为减函数，当x∈(80，120)时，函数h(x)为增函数，
∴当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为
∴a＝＝200.
答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．