1.4 生活中的优化问题举例 同步练习3（含答案）

1.4
生活中的优化问题举例
同步练习
基础巩固训练
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为(　　)
A.cm
B.cm
C.cm
D.cm
【解析】选D.设高为hcm，底面半径为rcm，则h2+r2=400.
又体积V=πr2h，则V=π(400-h2)h，
令V′=0，得惟一极值点h=，此时体积最大，故选D.
2.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为　(　　)
A.
B.
C.
D.2
【解析】选C.设底面边长为x，高为h，
则V=x2h，所以h=.
所以S表=2×x2+3x·=x2+，
所以S′表=x-，令S′表=0得x=.
当0当x>时，S′表>0.
因此当底面边长为时，其表面积最小.
3.购进原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出.已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，则获得利润最大时售价应为(　　)
A.90
B.95
C.100
D.105
【解析】选B.设售价为(90+x)元时利润为y，此时销售量为400-20x.
y=f(x)=(90+x)(400-20x)-(400-20x)×80
=20(20-x)(10+x)，求导得，
当x=5时，ymax=4500(元).即售价为95元时获利最大，其最大值为4500元，故选B.
4.一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(　　)
A.
B.
C.
D.2
【解析】选C.如图，设圆半径为x，如果矩形高记作h，那么窗户面积S=x2+2hx，
窗户周长l(x)=πx+2x+2h
=x+2x+.
令l′(x)=+2-=0.
解得x=(负值舍去).
因为l(x)只有一个极小值点，
因此x=为最小值点.
5.某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A.8
B.
C.-1
D.-8
【解题指南】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用配方法可求最小值.
【解析】选C.由题意，f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1，因为0≤x≤5，所以x=1时，
f′(x)的最小值为-1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1，故选C.
6.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为(　　)
A.
B.r
C.r
D.r
【解析】选D.如图所示，设∠COB=θ，则CD=2rcosθ，梯形的高h=rsinθ，
所以S=·rsinθ
=r2sinθ(1+cosθ)，
所以S′=r2[cosθ(1+cosθ)-sin2θ]
=r2(2cos2θ+cosθ-1).
令S′=0得cosθ=-1(舍去)或cosθ=.
即当cosθ=时，梯形面积最大，
此时上底CD=2rcosθ=r.故应选D.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.容积为256L的方底无盖水箱，它的高为__________时最省材料.
【解析】设水箱高为h，底面边长为a，则a2h=256，其面积为S=a2+4ah=a2+4a·=
a2+.
令S′=2a-=0，得a=8.
当0当a>8时，S′>0；
当a=8时，S最小，此时h==4.
答案：4
8.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为__________.
【解析】设点B(x，4-x2)(0则S=2x(4-x2)=-2x3+8x，
所以S′=-6x2+8，
令S′=0，即x=，另一边长为时，S=-2x3+8x取得最大值.
答案：和
9.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0)，为使耗电量最小，则其速度应定为__________.
【解题指南】欲求使耗电量最小，则其速度应定为多少，即求出函数的最小值即可，对函数求导，利用导数研究函数的单调性，判断出取最小值时的x即可.
【解析】由题设知y′=x2-39x-40，
令y′>0，解得x>40或x<-1，
故函数y=x3-x2-40x(x>0)在[40，+∞)上是增函数，在(0，40]上是减函数，当x=40时，y取得最小值.由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
答案：40
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
【解析】设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为(8-2x)cm，宽为(5-2x)cm，
V=(8-2x)(5-2x)x=4x3-26x2+40x，
V′=12x2-52x+40，
令V′=0，得x=1或x=(舍去)，
V极大值=V(1)=18，在定义域内仅有一个极大值，
所以V最大值=18，即当小正方形的边长为1cm时，盒子容积最大.
11.已知某工厂生产x件产品的成本为C=25000+200x+x2(元)，
问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
【解析】(1)设平均成本为y元，则
y==+200+，
y′=+，令y′=0得x=1000.
当在x=1000附近左侧时y′<0；
在x=1000附近右侧时y′>0，故当x=1000时，y取极小值，而在定义域内只有一个点使y′=0，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品.
(2)利润函数为S=500x-
=300x-25000-，S′=300-，
令S′=0，得x=6000，当在x=6000附近左侧时S′>0；在x=6000附近右侧时
S′<0，故当x=6000时，S取极大值，而在定义域内只有一个点使S′=0，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品.
【变式训练】某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数y=f(x)来拟合该景点对外开放的第x(x≥1)年与当年的游客人数y(单位；万人)之间的关系.
(1)根据上述两点预测，请用数学语言描述函数y=f(x)所具有的性质.
(2)若f(x)=+n，试确定m，n的值，并考察该函数是否符合上述两点预测.
(3)若f(x)=a·bx+c(b>0，b≠1)，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b的取值范围.
【解析】(1)预测①：f(x)在[1，+∞)上单调递增；
预测②：f(x)<130对x∈[1，+∞)恒成立；
(2)将(1，100)，(2，120)代入到y=+n中，
得解得
因为f(x)=-+140，所以f′(x)=
>0，故f(x)在[1，+∞)上单调递增，符合预测①；
又当x≥4时，f(x)=-+140≥130，
所以此时f(x)不符合预测②.
(3)由解得
因为f′(x)=a·bx·lnb，
要想符合预测①，则f′(x)>0，即a·lnb>0，从而或
①当b>1时，a=>0，此时符合预测①，但由f(x)≥130，解得x≥logb，
即当x≥logb时，f(x)≥130，
所以此时f(x)不符合预测②；
②当0此时符合预测①，
又由x≥1，知bx∈(0，b]，
所以a·bx∈[ab，0)，从而f(x)∈[ab+c，c)，欲f(x)也符合预测②，则c≤130，即100-≤130，
又0综上所述，b的取值范围是.
能力提升训练
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知球O的半径为R，圆柱内接于球，当内接圆柱的体积最大时，高等于(　　)
A.R
B.R
C.R
D.R
【解析】选A.设球内接圆柱的高为h，圆柱底面半径为r，则h2+(2r)2=(2R)2，得r2=R2-h2(0=π，
所以00；
R由此可得：V(h)在区间上是增函数；在区间上是减函数.
所以当h=R时，V(h)取得最大值.
2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为　(　　)
A.45.606万元
B.45.6万元
C.45.56万元
D.45.51万元
【解析】选B.依题意，可设甲地销售x辆，则乙地销售(15-x)辆，所以总利润S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(x≥0).
S′=-0.3x+3.06，令S′=0得x=10.2，此时S取最大值又x必须是整数，故x=10，此时Smax=45.6(万元).故选B.
3.如图，在等腰梯形ABCD中，CD=40，AD=40，梯形ABCD的面积最大时，AB等于(　　)
A.40
B.60
C.80
D.
120
【解题指南】设∠BAD=θ，用θ可以表示梯形的底边AB和高h，把梯形的面积表示成θ的函数，再利用导数求梯形面积最大时底边AB的长.
【解析】选C.设∠BAD=θ，则AB=40+2×40cosθ，梯形高h=40sinθ.从而梯形面积S=1600(1+cosθ)sinθ.
故S′=1600(cosθ+cos2θ).
令S′=0，得cosθ=-1(舍)，cosθ=，
即θ=，此时AB=80，
即当AB=80时，梯形有最大面积1200.
4.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元.如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人(不到100人不组团)，要使旅行社的收费最多，旅游团组团人数为(　　)
A.130
B.140
C.150
D.160
【解析】选C.设参加旅游的人数为x，旅游团收费为f(x)，则依题意有f(x)=1000x-5(x-100)x　(100≤x≤180)，
令f′(x)=1500-10x=0得x=150，
又f(100)=100000，f(150)=112500，f(180)=108000，
所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元，故选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.某工厂需要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为__________.
【解析】设长、宽分别为a，b，则ab=512，且l=a+2b，所以l=2b+，所以
l′=2-，
令l′=0得b2=256，所以b=16，a=32.
即当长、宽分别为32m，16m时最省材料.
答案：32m，16m
6.设e为自然对数的底数，已知直线l：y=-e-t(x-t)+e-t，t>-1，则直线l与两条坐标轴所围成的三角形面积的最大值等于__________.
【解题指南】分别令x=0与y=0可求得l与两条坐标轴的交点坐标，于是可得到所围成的三角形面积的表达式，继而可利用导数法求其最大值.
【解析】因为直线l：y=-e-t(x-t)+e-t，
令x=0，y=(t+1)e-t，即A(0，(t+1)e-t).
令y=0，x=t+1，故B(t+1，0).
因为t>-1，所以t+1>0，
所以S△OAB=(t+1)·(t+1)e-t=(t2+2t+1)e-t，
所以S′△OAB=(2t+2)e-t+(t2+2t+1)e-t×(-1)
=e-t(1-t2).
当t>1时，S′△OAB<0，当-10，
所以当t=1时，S△OAB有极大值，
因为S′△OAB=0的t的值惟一，所以S△OAB的极大值就是最大值.
所以当t=1时，S△OAB有最大值，
S△OAB的最大值为×(1+1)(1+1)e-1=.
答案：
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
【解析】设每次进书x千册(0令y′=0，得x=15，列表如下：
x
(0，15)
15
(15，150)
y′
-
0
+
y
↘
极小值
↗
所以当x=15时，y取得极小值，且极小值惟一，
故当x=15时，y取得最小值，此时进货次数为=10(次).
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少.
【拓展延伸】费用(用材)最省问题的解题技巧
　　选取合适的量为自变量，并确定其取值范围，把实际问题转化为数学问题.正确列出函数关系式，然后利用导数求最值.
8.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
【解析】设C点距D点xkm，则AC=50-x(km)，
所以BC==(km).
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y=3a(50-x)+5a(0y′=-3a+.
令y′=0，解得x=30.
在(0，50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x=30km处取得最小值，此时AC=50-x=20(km).
故供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.
【变式训练】某公司拟制造如图所示的工件(长度单位：米)，要求工件的体积为10立方米，其中工件的中间为长方体，上下两端为相同的正四棱锥，其底面边长AB=a，高PO=a.假设工件的制造费用仅与其表面积有关，已知长方体侧面每平方米制造费用为2千元，正四棱锥侧面每平方米制造费用为4千元.设工件的制造费用为y千元.
(1)写出y关于a的函数表达式，并求该函数的定义域.
(2)求该工件的制造费用最小时a的值.
【解题指南】(1)设长方体高为b，由长方体和四棱锥的体积的表达式，得到a和b的关系.再由柱体和锥体的表面积公式建立关系式，将表达式中的b用a表示.并注意写定义域时，利用b>0，求出自变量a的范围.
(2)用导数的知识解决，注意定义域的限制，确定函数y=f(x)在定义域上的单调性，从而可求函数的最大值.
【解析】(1)AB=a，PO=a，
所以斜高为=.所以一个正四棱锥的侧面积为S1=4××a×=a2.
一个正四棱锥的体积为V1=a2×a=a3.
令长方体的高为b，则a2b+a3×2=10.
所以b=-a.由b>0，得0y=4ab×2+a2×2×4=8ab+10a2=+8a2，定义域为(0，2).
(2)y′=-+16a，
令y′=0，得a=.
当a∈(0，)时，y′<0，y为a的减函数；
当a∈(，2)时，y′>0，y为a的增函数，
故该工件的制造费用最小时，a的值为(米).