1.5.1 曲边梯形的面积 教案

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1.5.1
曲边梯形的面积
教案
一：教学目标　　
理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法
二：教学重难点　　
重点
掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近(取极限)
难点　
对过程中所包含的基本的微积分
“以直代曲”的思想的理解
三：教学过程：
1．创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的.那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？
这就是定积分要解决的问题.
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用.本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值.www.21-cn-jy.com
一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．(不加说明，下面研究的都是连续函数)2·1·c·n·j·y
2．新课讲授
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
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例1：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S.
思考：(1)曲边梯形与“直边图形”的区别？
(2)能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．21教育网
把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确.当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．21·cn·jy·com
解：
(1)．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，
显然，
(2)近似代替
记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边(如图)．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有21cnjy.com
(3)求和
因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积之和就是所求曲边三角形面积的近似值：
=
(4)取极限
当分割无限变细时，即无限趋近于（趋向于）
当趋向时，无限趋近于，无限趋近于，故上式的结果无限趋近于，，即所求曲边三角形面积是.
从数值上的变化趋势：
3．求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步：分割．在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，
第二步：近似代替，“以直代取”.用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．21世纪教育网版权所有
第三步：求和．
第四步：取极限.
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：
分割以直代曲求和逼近
2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
例2.
求由直线y=2x+1与直线x=0,x=1和y=0所围成的平面图形的面积S.
【解】（1）分割
在区间
[0,1]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间：
分别过上述n-1个分点作垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形.它们的面积记作
（2）近似代替
记f(x)=2x+1,当n很大时，第i个小曲边梯形的面积
可以用小矩形（以为底，为高）的面积近似代替，则有：
（3）求和
（4）取极限
当n趋向于无穷大时，趋向于S,从而有：
S=
4.课堂小结：
5.教学后记：
x
x
x
1
x
1
x
y
1
x
y
y
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