1.5.1和1.5.2 曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 同步练习1（含答案）

1.5.1和1.5.2
曲边梯形的面积、汽车行驶的路程
同步练习
基础巩固训练
一、选择题(每小题3分，共12分)
1.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi+1]上的近似值等于(　　)
A.只能是左端点的函数值f(xi)
B.只能是右端点的函数值f(xi+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi+1])
D.以上答案均不正确
【解析】选C.由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确.
2.在等分区间的情况下，f(x)=(x∈[0，2])及x轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解题指南】将区间n等分后，每个小区间的长度为Δx=，第i个小区间为，取每个小区间右端点对应的函数值作为小矩形的高，即可解决.
【解析】选B.将区间n等分后，每个小区间的长度为Δx=，第i个小区间为(i=1，2，3，…，n)，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为.
3.直线x=0，x=2，y=0与曲线y=x2+1围成的曲边梯形，将区间[0，
2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为(　　)
A.
3.92，5.52
B.4，5
C.2，51，3.92
D.5.25，3.59
【解析】选A.区间长度为，区间分别为，
，，，.
取左端点值时面积为
=3.92，
同理可得取右端点值时面积为5.52.
【误区警示】用矩形面积代替梯形面积，计算矩形的高时常常出错，一是忽视题目要求的限制条件，二是对应点的函数值计算错误.
4.直线y=2x+1与直线x=0，x=m，y=0围成图形的面积为6，则正数m=(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.由题意，直线围成梯形的面积为
S=(1+2m+1)m=6，解得m=2，m=-3(舍).
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.求由抛物线f(x)=x2，直线x=0，x=1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0，1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________.
【解析】由题意得S=(0.12+0.32+0.52+0.72+0.
92)×0.2=0.33.
答案：0.33
6.汽车以v=(3t+2)m/s做变速直线运动，在第1s到第2
s间经过的路程是________.
【解析】将[1，2]n等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt=，
v(ξi)=v=3+2=(i-1)+5.
所以sn=·
=·
=·+5=+5，
所以s=sn=+5=6.5(m).
答案：6.5m
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
【解析】在时间区间[0，2]上等间隔地插入n-1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i=1，2，…，n)，其长度为Δt=-=.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i=1，2，…，n)，则显然有s=Δsi.
取ξi=(i=1，2，…，n).于是
Δsi≈Δs′i=v·Δt=·，
sn=Δsi=·+4
=8+4.
从而得到s的近似值s≈sn.
s=sn==8+4=12.
所以这段时间内行驶的路程为12km.
8.求由直线x=0，x=1，y=0及曲线f(x)=x2所围成的图形的面积.
【解析】(1)分割
将区间[0，1]等分成n个小区间：
，，…，，…，.
每个小区间的长度为Δx=.
过各分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
在区间上，用处的函数值作为高，以小区间的长度Δx=作为底边长的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈·.
(3)求和
曲边梯形的面积为
Sn=ΔSi≈·
=0·+··+··+…+
··=[12+22+…+(n-1)2]
=.
(4)取极限
所围成图形的面积为S==.
能力提升训练
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.下列函数在其定义域上不是连续函数的是(　　)
A.y=x2　　　　　　　　　
　
B.y=|x|
C.y=
D.y=
【解析】选D.由连续函数的定义及图象特点，可以判断A，B，C都是连续函数，D不是连续函数.
2.直线x=a，x=b(a0)所围成的曲边梯形的面积S=(　　)
A.f(ξi)·
B.f(ξi)·
C.f(ξi)·
D·f(ξi)
【解题指南】分四步完成：分割→近似代替→求和→取极限.
【解析】选D.将区间[a，b]n等分，区间长度为，
Sn=f(ξi)·，所以曲边梯形的面积为
·f(ξi).
3.设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a=x0A.与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关
B.与f(x)，区间[a，b]和分点的个数n有关，与ξi的取法无关
C.与f(x)，区间[a，b]和分点的个数n，ξi的取法都有关
D.与f(x)，区间[a，b]和ξi取法有关，与分点的个数n无关
【解析】选C.因为用分点a=x0把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(i=1，2，…，n)，
作和式Sn=f(ξi)·，
和式的大小与函数式，区间，分点的个数和变量的取法都有关.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量的关系式是y=F(x)=2x.弹簧从平衡位置拉长2个单位长度所做的功是________.
【解析】弹簧所做的功等于直线y=0，x=0，x=2，y=2x所围成的三角形的面积S=×2×F(2)=×2×4=4.
答案：4
5.汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度-2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值为________.
【解析】由题意知，v(t)=v0+at=10-2t，令v(t)=0得t=5，即t=5时，汽车将停车.将区间[0，5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似代替每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩估计值为
S=[10+(10-2×1)+(10-2×2)+(10-2×3)+(10-2×4)]×1=30(米).
答案：30米
三、解答题(每小题10分，共20分)
6.由直线x=1，x=3，y=0和曲线y=3x2所围成的图形的面积.
【解析】(1)分割
把区间[1，3]n等分，每个小区间的长度为.
(2)近似代替
取第i个区间的端点的函数值
f=3，
可得第i个小曲边梯形的面积的近似值为
ΔSi=.
(3)求和
把这n个小曲边梯形的面积求和得
S′=6++.
(4)取极限
对(3)中的和式取极限，得所求图形的面积为S=
=26，
即由直线x=1，x=3，y=0和曲线y=3x2所围成的图形的面积为26.
7.弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功.
【解题指南】利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.
【解析】将物体用常力F沿力的方向拖动距离x，则所做的功W=F·x.
(1)分割
在区间[0，b]上等间隔地插入n-1个点，将区间[0，b]等分成n个小区间：
，，…，
记第i个区间为(i=1，2，…，n)，其长度为Δx=-=.
把在分段，，…，上所做的功分别记作：
ΔW1，ΔW2，…，ΔWn.
(2)近似代替
取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔWi≈F·Δx=k··(i=1，2，…，n).
(3)求和
Wn=ΔWi≈k··
=[0+1+2+…+(n-1)]=×
=.
从而得到W的近似值W≈Wn=.
(4)取极限
W=Wn=ΔWi==.
所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.