1.5.1和1.5.2 曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 同步练习2（含答案）

1.5.1和1.5.2
曲边梯形的面积、汽车行驶的路程
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．和式(yi＋1)可表示为(　　)
A．(y1＋1)＋(y5＋1)
B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1
C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5
D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
[答案]　C
[解析]　(yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故选C.
2．在求由x＝a、x＝b(a①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1个　　
B．2个　　
C．3个　　
D．4个
[答案]　A
[解析]　n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A.
3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于(　　)
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正确
[答案]　C
[解析]　由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C.
4．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0、x＝t(t>0)、y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为(　　)
A．
B．
C．
D．
[答案]　D
[解析]　在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间的长度均为，故第i－1个区间为，故选D.
5．在求由函数y＝与直线x＝1、x＝2、y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1，2]等分成n个小区间，则第i个小区间为(　　)
A．[，]
B．[，]
C．[i－1，i]
D．[，]
[答案]　B
[解析]　把区间[1，2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间的左端点不小于1，排除A、D；C显然错误；故选B.
6．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0，2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是(　　)
A．·]
B．·]
C．
D．·n]
[答案]　B
[解析]　将区间[0，2]n等分后每个区间长度为，第i个小区间为[，](i＝1，2，3，…，n)，故应选B.
二、填空题
7．直线x＝0、x＝2、y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0，2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
[答案]　3.92　5.52
8．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
[答案]　55
9．在求由直线x＝0、x＝1、y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形面积时，若令Δx＝，ξi＝，则曲边梯形的面积表达式为________．
[答案]　
三、解答题
10．求直线x＝0、x＝2、y＝0与曲线y＝x2所围成曲边梯形的面积．
[解析]　将区间[0，2]等分成n个小区间，则第i个小区间为.
第i个小区间的面积ΔSi＝f·，
∴Sn＝·
＝＝(i－1)2
＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝·＝.
S＝Sn＝
＝[(1－)(2－)]＝，
∴所求曲边梯形面积为.
能力拓展提升
一、选择题
11．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与y＝1围成的面积是(　　)
A．4π
B．
C．3π
D．2π
[答案]　D
[解析]　如图，求曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与y＝1围成的面积可转化为求由直线y＝0、y＝1、x＝0、x＝2π围成的矩形面积．
[点评]　这里利用了曲线y＝cosx(0≤x≤2π)的图象的对称性质，将不规则的图形转化为矩形求得面积，自己再用求曲边梯形面积的方法求出所求面积．
12.()·()]的含义可以是(　　)
A．求由直线x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积
B．求由直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x围成的图形的面积
C．求由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积
D．求由直线x＝0，x＝5，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积
[答案]　C
[解析]　将区间[0，5]n等分，则每一区间的长度为，各区间右端点对应函数值为y＝，
因此()·()]可以表示由直线x＝0、x＝5、y＝0和y＝3x围成的图形的面积的近似值．
二、填空题
13．由直线x＝0、x＝1、y＝0和曲线y＝x2＋2x围成的图形的面积为________．
[答案]　
[解析]　将区间[0，1]n等分，每个区间长度为，区间右端点函数值y＝()2＋2·＝＋.
作和(＋)]＝(＋)
＝2＋
＝×n(n＋1)(2n＋1)＋×
＝＋＝，
∴所求面积S＝
＝
(＋＋)＝.
三、解答题
14．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
[分析]　汽车行驶路程等于速度与时间的乘积，由于是变速运动，故路程类似曲边梯形面积，根据曲边梯形求面积思想，求和后再求极限值．
[解析]　将区间[1，2]等分成n个小区间，第i个小区间为.
∴Δsi＝f·.
sn＝·＝
＝
＝3n＋[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]
＝3＋＋.
s＝sn＝
＝.
∴这段时间行驶的路程为km.
15．求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
[解析]　(1)分割
在区间[1，2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：
，，…，，记第i个区间为(i＝1，2，…，n)，其长度为
Δx＝－＝.
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如下图)，它们的面积记作：ΔS1、ΔS2、…、ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝Si.
(2)近似代替
记f(x)＝.当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)＝的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f()．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝fΔx＝·＝(i＝1，2，…，n)．
(3)求和
小曲边梯形的面积和Sn＝Si≈Si′
＝＝＋＋…＋
＝n－＋－＋…＋－
＝n＝.
(4)取极限
S＝Sn＝.
∴由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.