1.5.3 定积分的概念 同步练习1（含答案）

1.5.3
定积分的概念
同步练习
基础巩固训练
一、选择题(每小题3分，共12分)
1.关于定积分m=dx，下列说法正确的是(　　)
A.被积函数为y=-x
B.被积函数为y=-
C.被积函数为y=-x+C，
D.被积函数为y=-x3
【解析】选B.由定积分的定义知，被积函数为y=-.
2.定积分f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是(　　)
A.[-2，2]　　　　　　　　
B.[0，2]
C.[-2，0]
D.不确定
【解析】选A.由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是[-2，2].
3.设f(x)=则f(x)dx的值是(　　)
A.x2dx
B.2xdx
C.x2dx+2xdx
D.2xdx+x2dx
【解析】选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.
4.下列等式不成立的是(　　)
A.[mf(x)+ng(x)]dx=mf(x)dx+ng(x)dx
B.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-a
C.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dx
D.sinxdx=sinxdx+sinxdx
【解析】选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.
【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时，要特别注意积分区间及被积函数的符号.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.定积分(-3)dx=__________.
【解析】3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，
(-3)dx=-3dx=-6.
答案：-6
6.计算：(1-cosx)dx=________.
【解题指南】根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.
【解析】根据定积分的几何意义，得1dx=2π，
cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx
=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，
所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.
答案：2π
【一题多解】在公共积分区间[0，2π]上，(1-cosx)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cosx在[0，2π]上围成封闭图形的面积，如图，由于余弦曲线y=cosx在[0，π]上关于点中心对称，在上关于点中心对称，所以区域①与②的面积相等，所求平面图形的面积等于边长分别为1，2π的矩形的面积，其值为2π.所以(1-cosx)dx=2π.
答案：2π
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.已知x3dx=，x3dx=，x2dx=，x2dx=，
求：(1)3x3dx.(2)6x2dx.
(3)(3x2-2x3)dx.
【解析】(1)3x3dx=3x3dx
=3
=3=12.
(2)6x2dx=6x2dx=6(x2dx+x2dx)
=6=126.
(3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx
=3×-2×=-.
8.求定积分(-x)dx的值.
【解析】(-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(图中阴影部分)的面积，故原式=×π×12-×1×1=-.
【拓展延伸】
1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤
(1)确定被积函数和积分区间.
(2)准确画出图形.
(3)求出各部分的面积.
(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S=f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=-f(x)dx.
2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点
准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.
能力提升训练
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.设曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是(　　)
A.S=(x2-x)dx
B.S=(x-x2)dx
C.S=(y2-y)dy
D.S=(y-)dy
【解析】选B.将曲线方程y=x2与直线方程y=x联立方程组，解得x=0或x=1，结合图形可得B正确.
2.如图所示，图中曲线方程为y=x2-1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是(　　)
A.
B.(x2-1)dx
C.|x2-1|dx
D.(x2-1)dx+(x2-1)dx
【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出.
【解析】选C.由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx，故选C.
【举一反三】将本题中的函数改为f(x)=x-1，则(x-1)dx=__________.
【解析】直线y=x-1，与x=0，x=1.
y=0围成的图形为三角形，面积为S=×1×1=.
由定积分的几何意义得(x-1)dx=-.
答案：-
3.曲线y=与直线y=x，x=2所围成的图形面积用定积分可表示为(　　)
A.dx
B.dx
C.dx
D.dx
【解析】选A.如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.定积分2014dx=__________.
【解析】根据定积分的几何意义2014dx表示直线x=2014，x=2015，y=0，y=2014围成的图形的面积，
故2014dx=2014×(2015-2014)=2014.
答案：2014
5.定积分(2+)dx=________.
【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出2dx，dx.再由性质求和.
【解析】原式=2dx+dx.
因为2dx=2，
dx=，
所以(2+)dx=2+.
答案：2+
三、解答题(每小题10分，共20分)
6.根据定积分的几何意义求下列定积分的值：
(1)xdx.(2)cosxdx.(3)|x|dx.
【解析】(1)如图(1)，xdx=-A1+A1=0.
(2)如图(2)，cosxdx=A1-A2+A3=0.
(3)如图(3)，因为A1=A2，所以|x|dx=2A1=2×=1.
(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)
【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点
(1)关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间.
(2)正确利用相关的几何知识求面积.
(3)不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.
7.一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程.
【解析】依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=
所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为
s=v(t)dt
=tdt+(50-t)dt+10dt
=300+400+200=900(米).