1.5.3 定积分的概念 同步练习2（含答案）

1.5.3
定积分的概念
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．已知
f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于(　　)
A．6　　　　　　　　
B．6(b－a)
C．36
D．不确定
[答案]　C
[解析]　6f(x)dx＝6
f(x)dx＝36.故应选C.
2．设f(x)＝则－1f(x)dx的值是(　　)
A．x2dx
B．2xdx
C．x2dx＋2xdx
D．2xdx＋x2dx
[答案]　D
[解析]　由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1，1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1，0]与[0，1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.
3．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝(　　)
A．2
B．－3
C．－1
D．4
[答案]　C
[解析]　[2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.
4．由函数y＝－x的图象，直线x＝1、x＝0、y＝0所围成的图形的面积可表示为(　　)A．(－x)dx
B．|－x|dx
C．－1xdx
D．－xdx
[答案]　B
[解析]　围成图形如图，由定积分的几何意义可知，所求图形面积S＝－(－x)dx＝|－x|dx，故选B.
5．∫cosxdx＝(　　)
A．0
B．π
C．－π
D．2π
[答案]　A
[解析]　作出[0，2π]上y＝cosx的图象如图，由y＝cosx图象的对称性和定积分的几何意义知，阴影部分在x轴上方和下方部分的面积相等，积分值符号相反，故∫cosxdx＝0.
6．下列命题不正确的是(　　)
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b)上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正
[答案]　D
[解析]　本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
二、填空题
7．由y＝sinx、x＝0、x＝、y＝0所围成的图形的面积可以写成________．
[答案]　
sinxdx
[解析]　由定积分的几何意义可得．
8.(2x－4)dx＝________.
[答案]　12
[解析]　
如图A(0，－4)，B(6，8)，M(2，0)，
S△AOM＝×2×4＝4，
S△MBC＝×4×8＝16，
∴(2x－4)dx＝16－4＝12.
9．设y＝f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1，2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1，2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为________．
[答案]　
[分析]　本题考查了几何概型、积分的定义等知识，难度不大，但综合性较强，很好的考查了学生对积分等知识的理解和应用，题目比较新颖．
[解析]　因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴所围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为×1＝，即f(x)dx＝.
三、解答题
10．利用定积分的几何意义，解释下列等式．
(1)2xdx＝1；(2)－1dx＝.
[解析]　(1)2xdx表示由直线y＝2x，直线x＝0、x＝1、y＝0所围成的图形的面积，如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S△＝×1×2＝1，故2xdx＝1.
(2)
dx表示由曲线y＝，直线x＝－1、x＝1、y＝0所围成的图形面积(而y＝表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆)，如图所示阴影部分，所以S半圆＝，
故dx＝.
能力拓展提升
一、选择题
11．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则f(x)dx－f(t)dt的值(　　)
A．小于零
B．等于零
C．大于零
D．不能确定
[答案]　B
[解析]　f(x)dx和f(t)dt都表示曲线y＝f(x)与x＝a，x＝b及y＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.
12．定积分xdx与dx的大小关系是(　　)
A．xdx＝dx
B．xdx>dx
C．xdxD．无法确定
[答案]　C
[解析]　在同一坐标系中画出y＝与y＝x的图象如图，由图可见，当x∈[0，1]时，y＝的图象在y＝x的图象上方，由定积分的几何意义知，xdx13．已知t>0，若(2x－2)dx＝8，则t＝(　　)
A．1
B．－2
C．－2或4
D．4
[答案]　D
[解析]　作出函数f(x)＝2x－2的图象与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，
∵(2t－2)dx＝8，且(2t－2)dx＝－1，∴t>1，
∴S△AEF＝|AE||EF|＝×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故选D.
14．下列等式不成立的是(　　)
A．[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx
B．[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a
C．f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx
D．sinxdx＝－2πsinxdx＋∫sinxdx
[答案]　C
[解析]　利用定积分的性质进行判断，选项C不成立．
例如xdx＝，x2dx＝，x3dx＝.
但x3dx≠xdx·x2dx.故选C.
二、填空题
15．已知f(x)是一次函数，其图象过点(3，4)且f(x)dx＝1，则f(x)的解析式为_______．
[答案]　f(x)＝x＋
[解析]　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(x)图象过(3，4)点，∴3a＋b＝4.
又f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝1.
解方程组得
∴f(x)＝x＋.
16．比较大小：exdx________xdx.
[答案]　>
[解析]　
exdx－－2xdx＝
(ex－x)dx，
令f(x)＝ex－x(－2≤x≤0)，则f
′(x)＝ex－1≤0，
∴f(x)在[－2，0]上为减函数，
又f(0)＝1>0，∴f(x)>0，由定积分的几何意义又知f(x)dx>0，则由定积分的性质知，－2exdx>－2xdx.
17．利用定积分的几何意义，计算：dx＝________.
[答案]　－
[解析]　由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．
易知AB＝，∠AOB＝，
∴S＝×4π－×1×＝－.
三、解答题
18．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2，2π]上的积分．
[解析]　由定积分的几何意义知
x3dx＝0，
2xdx＝＝π2－4，
∫cosxdx＝0，由定积分的性质得
f(x)dx＝－2x3dx＋2xdx＋∫cosxdx＝π2－4.