1.5.3 定积分的概念 同步练习3（含答案）

1.5.3
定积分的概念
同步练习
一、选择题
1．定积分f(x)dx的大小是(　　)
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)以有ξi的取法和区间[a，b]都有关
答案　A
2．设连续函数f(x)>0，则当aA．一定是正的　　　　　　　
B．一定是负的
C．当0D．以上都不对
答案　A
3．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分量，则积分区间为(　　)
A．[0，e2]
B．[0，2]
C．[1，2]
D．[0，1]
答案　B
4．下列值等于1的积分是(　　)
A.
xdx
B.
(x＋1)dx
C.
dx
D.
1dx
答案　D
5．设f(x)＝x3＋x，则f(x)dx的值等于(　　)
A．0
B．8
C.
f(x)dx
D．20f(x)dx
答案　A
6．已知xdx＝2，则－txdx等于(　　)
A．0
B．2
C．－1
D．－2
答案　D
7.
等于(　　)
A.
(lnx)2dx
B．2lnxdx
C．2ln(x＋1)dx
D.
[ln(1＋x)]2dx
答案　D
8．已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx＝(　　)
A．0
B．16
C．12
D．8
答案　B
9．下列命题中不正确的是(　　)
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝20f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续，且f(x)dx>0，则f(x)在(a，b)上恒正
答案　D
二、填空题
10．由y＝sinx，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．
答案　略
11．由直线y＝x＋1和抛物线y＝x2所围成的图形的面积用定积分表示为________．
答案
略
12．定积分cdx(c为常数)的几何意义是________．
答案　表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和y＝c所围成的矩形的面积
13．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
图1　　　　　图2　　　　　图3
(1)S′＝________(图1)；
(2)S′＝________(图2)；
(2)S′＝________(图3)．
答案　(1)
三、解答题
14．用定积分的意义求下列各式的值．
(1)
dx；　(2)
2xdx.
分析　由题目可获取以下主要信息：①求定积分；②用定积分的几何意义求．解答本题可先根据被积函数和积分区间画出图像，然后依据定积分的几何意义求解．
解析　
(1)由y＝可得
x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如图．
dx等于圆心角为的弓形面积CDE与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin＝－，
S矩形＝AB·BC＝2，
∴dx＝2＋－＝＋.
(2)由直线x＝－1，x＝2，y＝0以及y＝2x所围成的图形，如图所示．
2xdx表示由直线x＝－1，x＝2，y＝0以及y＝2x所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴2xdx＝－＝4－1＝3.
规律方法　(1)正确画出图形是求解的关键．
(2)当平面图形有部分或全部在x轴下方时，要注意定积分的正确表示．
15．已知xdx＝，x3dx＝，求下列定积分：
(1)
(2x＋x3)dx；　(2)
(2x3－x＋1)dx.
解析　(1)0(2x＋x3)dx
＝2xdx＋x3dx＝e2＋.
(2)
(2x3－x＋1)dx
＝2x3dx－xdx＋1dx＝－＋e.