1.6 微积分基本定理 同步练习1（含答案）

1.6
微积分基本定理
同步练习
基础巩固训练
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.若s1=x2dx，s2=dx，s3=exdx则s1，s2，s3的大小关系为(　　)
A.s1B.s2C.s2D.s3【解题指南】根据微积分基本定理，分别求出s1，s2，s3的值，进行比较即可.
【解析】选B.因为s1=x3=(23-13)=<3；
s2=lnx|=ln2-ln1=ln2<1；s3=ex|
=e2-e>3.所以s2【变式训练】设a=xdx，b=x2dx，c=x3dx，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.c>a>b
B.a>b>c
C.a=b>c
D.a>c>b
【解析】选B.a=x2|=，
b=x3|=，c=x4|=.所以a>b>c.
2.已知积分(kx+1)dx=k，则实数k=(　　)
A.2
B.-2
C.1
D.-1
【解析】选A.因为(kx+1)dx=k，
所以=k.
所以k+1=k，所以k=2.
3.下列定积分计算正确的是(　　)
A.sinxdx=4
B.2xdx=1
C.dx=ln
D.3x2dx=3
【解析】选C.sinxdx=-cosx|=0，
2xdx=|=log2e，
dx=(x-lnx)|
=1-ln2=ln.
3x2dx=x3|=2.
4.若|56x|dx≤2016，则正数a的最大值为(　　)
A.6
B.56
C.36
D.2016
【解析】选A.|56x|dx=256xdx，
=2×x2|=56a2≤2016，
a2≤36，05.设f(x)=则f(x)dx=(　　)
A.1
B.
C.-
D.2
【解析】选C.因为f(x)在[-1，2]上分段连续，
所以f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx
=(x-1)dx+dx
=(-x)|+(-)|=-.
【误区警示】对于分段函数求积分可根据定积分的性质先求出每一段上定积分再相加，需注意函数在对应区间上的连续性.
6.定积分|x2-2x|dx等于(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.|x2-2x|dx
=(x2-2x)dx+(2x-x2)dx+(x2-2x)dx
=
=++=4.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.若x2dx=9，则常数T的值为__________.
【解题指南】结合公式f(x)dx=F(b)-
F(a)，其中F′(x)=f(x)，来计算积分上限值.
【解析】x2dx==T3=9，所以T=3.
答案：3
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=(1+2x)dx，则a5+a6=__________.
【解析】S10=(1+2x)dx=(x+x2)|=3+9=12.
因为{an}是等差数列，
所以，S10==5(a5+a6)=12，
所以a5+a6=.
答案：
9.
f(x)=sinx+cosx，
则f(x)dx=________.
【解析】(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)|
=-
=2.
答案：2
【一题多解】因为f(x)=sinx+cosx
=sin，
所以f(x)dx
=-cos
=-cosπ+cos
=-×+×=2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.计算下列定积分：
(1)dx.
(2)(2-|1-x|)dx.
【解析】(1)dx=dx
=(-x)dx=()|
=-
=-8-+=-.
(2)因为y=2-|1-x|=
所以
(2-|1-x|)dx
=(1+x)dx+(3-x)dx=(x+x2)|+(3x+x2)|=+4-=3.
【拓展提升】巧化简求积分
　　在求定积分时，要对被积函数先化简、变形后再求定积分，这是求定积分的首要原则，特别是被积函数中含有三角函数式时更应注意这一点，若不化简，可能导致求积分过于复杂，或根本无法求出.
11.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，f(1)=4，f′(1)=1，f(x)dx=，求f(x).
【解题指南】由题意，求函数的解析式就是求三个参数a，b，c的值，由三个条件列出方程组，即可解得.
【解析】因为f(1)=4，所以a+b+c=4，　
①
f′(x)=2ax+b，
因为f′(1)=1，所以2a+b=1，　
②
f(x)dx=
=a+b+c=，　
③
由①②③可得a=-1，b=3，c=2，
所以f(x)=-x2+3x+2.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=4，则f(x)dx等于
(　　)
A.0　　　　
B.4　　
　　C.8　　
　　D.16
【解析】选C.因为f(x)为偶函数，
所以在y轴两侧的图象对称.所以对应的面积相等.
所以原式=2f(x)dx=2×4=8.
2.已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解题指南】解答本题可先求出函数解析式，再利用积分求解.
【解析】选B.根据函数的图象可知二次函数y=f(x)图象过点(-1，0)，(1，0)，(0，1)，从而可知二次函数y=f(x)=-x2+1，所以它与x轴所围图形的面积为(-x2+1)dx==-=.
【变式训练】直线x=，x=与曲线y=sinx，y=cosx围成平面图形的面积为________.
【解析】直线x=，x=与曲线y=sinx，
y=cosx围成平面图形如图，故图形的面积为
S=(sinx-cosx)dx
=-(cosx+sinx)|
=-+=2.
答案：2
3.设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是(　　)
A.<<
B.<<
C.<<
D.<<
【解析】选C.因为(lnx)′=，
所以a=(lnx)|
=ln2，b=(lnx)|
=ln3，c=(lnx)|=ln5.
因为=，=，<，所以<，
所以ln所以<，所以<；
因为=，=，>，
所以ln所以<，
所以<.所以<<.
4.若f(x)=x2+2f(x)dx，则f(x)dx=　(　　)
A.-1
B.-
C.
D.1
【解题指南】因为f(x)dx是一个常数，所以可根据微积分基本定理构造以f(x)dx为未知数的方程，解之可得.
【解析】选B.设f(x)dx=c，
则c=(x2+2c)dx=
=+2c，
解得c=-.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.计算：(2|x|+1)dx=________.
【解析】因为函数f(x)=2|x|+1是偶函数，
所以(2|x|+1)dx=2(2x+1)dx
=2×(x2+x)=12.
答案：12
6.函数f(x)=sin(ωx+φ)的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.
(1)若φ=，点P的坐标为，则ω=________.
(2)若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________.
【解题指南】(1)利用点P在三角函数的图象上求ω.
(2)求出三角形面积及曲边图形的面积，代入几何概型公式即得.
【解析】(1)y=f′(x)=ωcos(ωx+φ)，当φ=，点P的坐标为时，
ωcos=，所以ω=3.
(2)由图知AC==，
S△ABC=AC·ω=，
设A，C的横坐标分别为a，b.
设曲线段ABC与x轴所围成的区域的面积为S，则
S==
=|sin(ωb+φ)-sin(ωa+φ)|=2，
由几何概型知该点在△ABC内的概率为P==.
答案：(1)3　(2)
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知S1为直线x=0，y=4-t2及y=4-x2所围成图形的面积，S2为直线x=2，y=4-t2及y=4-x2所围成图形的面积(t为常数).
(1)若t=时，求S2.
(2)若t∈(0，2)，求S1+S2的最小值.
【解析】(1)当t=时，
S2=[2-(4-x2)]dx=
=(-1).
(2)t∈(0，2)，S1=[(4-x2)-(4-t2)]dx
=(t2x-x3)|=t3，
S2=[(4-t2)-(4-x2)]dx
=(x3-t2x)|=-2t2+t3，
所以S=S1+S2=t3-2t2+，
S′=4t2-4t=4t(t-1)，
令S′=0得t=0(舍去)或t=1，
当0当10，S单调递增，
所以当t=1时，Smin=2.
8.已知f(x)=(12t+4a)dt，F(a)=[f(x)+3a2]dx，求函数F(a)的最小值.
【解题指南】这里函数f(x)，F(a)都是以积分形式给出的，可以先用微积分基本定理求出f
(x)与F(a)，再利用二次函数求出F(a)的最小值.
【解析】因为f(x)=(12t+4a)dt=(6t2+4at)
=6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2，
F(a)=[f(x)+3a2]dx=(6x2+4ax+a2)dx
=(2x3+2ax2+a2x)=2+2a+a2
=a2+2a+2=(a+1)2+1≥1.
所以当a=-1时，F(a)的最小值为1.
【变式训练】已知函数f(x)=t(t-4)dt.
(1)若不等式f′(x)+2x+22]内有解，求实数m的取值范围.
(2)若函数g(x)=f(x)+a-在区间[0，5]上没有零点，求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)=t(t-4)dt==x3-2x2
所以f′(x)=x2-4x
不等式f′(x)+2x+2x2-2x+2
因为不等式f′(x)+2x+2所以m>(x2-2x+2)min(x∈[0，2]).
因为x2-2x+2=(x-1)2+1，
所以当x∈[0，2]时，(x2-2x+2)min=1，
所以m>1，
所以实数m的取值范围为(1，+∞).
(2)由(1)得g(x)=x3-2x2+a-，
所以g′(x)=x2-4x=x(x-4)，
则当x∈[0，4]时，g′(x)≤0；当x∈(4，5]时，g′(x)>0，
所以当x=4时，g(x)的最小值为g(4)=a-11，
因为函数g(x)在区间[0，5]上没有零点，
所以a-11>0或
所以a>11，或a<，
所以实数a的取值范围为(11，+∞)∪.