1.6 微积分基本定理 同步练习2（含答案）

1.6
微积分基本定理
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．
2xdx等于(　　)
A．6　　　
B．5　　　
C．4　　　
D．3
[答案]　D
[解析]　2xdx＝x2|＝3.
2．若曲线y＝与直线x＝a、y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则正实数a为(　　)
A．
B．
C．
D．
[答案]　A
[解析]　由题意知，dx＝a2，
∵(x)′＝x，∴dx＝x|＝a，
∴a＝a2，∴a＝.
3.
dx＝(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[答案]　A
[解析]　
dx
＝
＝(x3－x－3)
＝－＝.
故应选A.
4．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)
A．
B．
C．
D．不存在
[答案]　C
[解析]　f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx，
取F1(x)＝x3，
F2(x)＝2x－x2，
则F
′1(x)＝x2，F
′2(x)＝2－x，
∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)
＝－0＋2×2－×22－＝.故应选C.
5.|x2－4|dx＝(　　)
A．　　
B．
　　
C．　　
D．
[答案]　C
[解析]　|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx
＝＋＝.
二、填空题
6．计算定积分：
①x2dx＝________
②dx＝________
③|x2－1|dx＝________
④－|sinx|dx＝________
[答案]　①　②　③2　④1
[解析]　①x2dx＝x3＝.
②dx＝＝.
③|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝2.
7.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
[答案]　
[解析]　长方形的面积为S1＝3，S阴＝3x2dx＝x3＝1，则P＝＝.
8．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
[答案]　－1或
[解析]　由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，
∴－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，
∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.
即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或.
三、解答题
9．计算下列定积分：
(1)(4－2x)
(4－x2)dx；
　(2)dx.
[解析]　(1)(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx
＝
＝32－16－＋8＝.
(2)dx＝dx
＝＝－3ln2.
能力拓展提升
一、选择题
10．函数F(x)＝costdt的导数是(　　)
A．F′(x)＝cosx
B．F′(x)＝sinx
C．F′(x)＝－cosx
D．F′(x)＝－sinx
[答案]　A
[解析]　F(x)＝costdt＝sint＝sinx－sin0＝sinx.
所以F′(x)＝cosx，故应选A.
11．由曲线y＝x2、y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)
A．　
　
B．　　
C．　
　
D．
[答案]　A
[解析]　由得交点为(0，0)，(1，1)．
∴S＝(x2－x3)dx＝＝.
12．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)
A．S1B．S2C．S2D．S3[答案]　B
[解析]　S1＝x2dx＝|＝.
S2＝dx＝lnx|＝ln2－ln1＝ln2.
S3＝exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)．
∵e>2.7，∴S3>3>S1>S2.故选B.
二、解答题
13．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)，且f(－1)＝2，f
′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
[解析]　∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2.
①
又∵f
′(x)＝2ax＋b，∴f
′(0)＝b＝0
②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，
则F′(x)＝ax2＋bx＋c，
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2
③
解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.