1.7 定积分的简单应用 同步练习（含答案）

1.7
定积分的简单应用
同步练习　　
基础巩固强化
1．如图所示，阴影部分的面积是(　　)
A．2
B．2－
C.
D.
[答案]　C
[解析]　S＝－3(3－x2－2x)dx
即F(x)＝3x－x3－x2，
则F(1)＝3－1－＝，
F(－3)＝－9－9＋9＝－9.
∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝.故应选C.
2．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是(　　)
A.(x2－1)dx
B．|(x2－1)dx|
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
[答案]　C
[解析]　y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.
3．曲线y＝x3－3x和y＝x围成的图形面积为(　　)
A．4　　　　
B．8　　　　
C．10　
　
　
D．9
[答案]　B
[解析]　由
解得或或
∵两函数y＝x3－3x与y＝x均为奇函数，
∴S＝2[x－(x3－3x)]dx＝2·(4x－x3)dx
＝2(2x2－x4)|＝8，故选B.
4．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是(　　)
A．31m　　　
B．36m　　　
C．38m　　　
D．40m
[答案]　B
[解析]　S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B.
5．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为(　　)
A．8J　　
　
B．10J　　　
C．12J　　　
D．14J
[答案]　D
[解析]　由变力做功公式有：W＝
(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)，故应选D.
6．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为(　)
A.
B．3－
C．6＋3
D．6－3
[答案]　D
[解析]　dt＝＝6－3，故应选D.
二、填空题
7．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．
[答案]　18
[解析]　如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8，4)．
因此所求图形的面积S＝－2(y＋4－)dy
取F(y)＝y2＋4y－，则F′(y)＝y＋4－，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.
8．一物体沿直线以速度v＝m/s运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．
[答案]　(11－1)
[解析]　S＝∫dt＝(1＋t)＝(11－1)．
9．由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．
[答案]　
[解析]　解法1：如图，y＝1与y＝x2交点A(1，1)，y＝1与y＝交点B(2，1)，
由对称性可知面积S＝2(x2dx＋dx－x2dx)＝.
解法2：同解法1求得A(1，1)，B(2，1)．
由对称性知阴影部分的面积
S＝2·[(x2－x2)dx＋(1－x2)dx]
＝2·[x3|＋(x－x3)|]
＝2×(＋)＝.
解法3：同解法1求得A(1，1)B，(2，1)，C(－1，1)，D(－2，1)．
S＝
(1－x2)dx－－1(1－x2)dx
＝(x－x3)|－(x－x3)|
＝－＝.
解法4:
同解法1求得A(1，1)，B(2，1)，取y为积分变量，
由对称性知，S＝2(2－)dy
＝2dy＝2×(y|)＝.
三、解答题
10．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．
[解析]　由解得x＝0及x＝3.
从而所求图形的面积
S＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝(－x2＋3x)dx
＝＝.
能力拓展提升
一、选择题
1．如图所示，阴影部分的面积是(　　)
A．2　　　　　　　　
B．2－
C.
D．
[答案]　C
[解析]　S＝
(3－x2－2x)
dx
即F(x)＝3x－x3－x2，
则F(1)＝3－1－＝，
F(－3)＝－9－9＋9＝－9.
能力拓展提升一、选择题
11．∫exdx的值为(　　)
A．－1
B．1
C．e2－1
D．e2
[答案]　B
[解析]　∫exdx＝ex|＝eln2－e0＝2－1＝1.
12．利用定积分的几何意义，可求得dx＝(　　)
A．9π
B．π
C.π
D．π
[答案]　B
[解析]　由定积分的几何意义知，dx表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方部分(即半圆)的面积，
∴dx＝×π×32＝.
13．直线y＝2x＋3与抛物线y＝x2所围成的图形面积是(　　)
A．20
B．
C.
D．
[答案]　C
[解析]　由解得或
∴S＝
(2x＋3－x2)dx
＝(x2＋3x－x3)|＝.
故选C.
14．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)
A.
B．
C.
D．
[答案]　C
[解析]　本题考查了定积分的计算与几何概型．联立解得，或者，∴O(0，0)，B(1，1)，
∴S阴影＝(－x)dx＝(x－)|＝－＝，∴P＝＝＝.
二、填空题
15．如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
[答案]　
[解析]　∵S阴＝2(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2，
S正方形＝e2，∴P＝.
三、解答题
16．设f(x)是二次函数，其图象过点(0，1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
(3)若直线x＝－t(0[解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，
∵其图象过点(0，1)，∴c＝1，
又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0，∴
∵f
′(x)＝2ax＋b，∴
∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，
故所求面积S＝－1(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝.
(3)依题意，有
S＝－t(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝，
即t3－t2＋t＝，
∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－.
17．如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2，4)移动，记直线OP与曲线y＝x2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成图形的面积为S2.
(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；
(2)当S1＋S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值．
[解析]　(1)设点P的横坐标为t(0S1＝(tx－x2)dx＝t3，
S2＝(x2－tx)dx＝－2t＋t3，
因为S1＝S2，所以t3＝－2t＋t3，解得t＝，
故点P的坐标为(，)．
(2)令S＝S1＋S2，
由(1)知，S＝t3＋－2t＋t3＝t3－2t＋，则S′＝t2－2，
令S′＝0，得t2－2＝0，因为0又当00；
故当t＝时，S1＋S2有最小值，最小值为－，此时点P的坐标为(，2)．