1.7.2 定积分在物理中的应用 同步练习（含答案）

1.7.2
定积分在物理中的应用
同步练习
基础巩固训练
一、选择题(每小题3分，共12分)
1.一物体沿直线以v=3t+2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6s间的运动路程为(　　)
A.46
m
B.46.5
m
C.87
m
D.47
m
【解析】选B.s=(3t+2)dt
=
=(54+12)-
=46.5(m).
2.一物体在力F(x)=15-3x2(力的单位：N，位移的单位：m)作用下沿与力F(x)成30°角的方向由x=1m直线运动到x=2m处，作用力F(x)所做的功W为(　　)
A.J　　
B.2J　　
C.4J　
　D.J
【解析】选C.W=F(x)cos
30°dx=(15-3x2)dx=(15x-x3)=
[(30-8)-(15-1)]=4(J).
3.做直线运动物体的速度为v(t)=8-2t(m/s)，则物体在前5s内经过的路程为
(　　)
A.15m
B.16m
C.17m
D.19m
【解析】选C.物体在前5s内经过的路程为
s=|8-2t|dt=(8-2t)dt-(8-2t)dt
=(8t-t2)-(8t-t2)=17(m).
【变式训练】做直线运动物体的速度为v(t)=8-2t(m/s)，则物体在前5s内的位移为(　　)
A.15m
B.16m
C.17m
D.19m
【解析】选A.物体在前5s内的位移为s=(8-2t)dt=(8t-t2)=15(m).
4.一物体以速度v=(3t2+2t)m/s做直线运动，则它在t=0s到t=3s时间段内的位移是(　　)
A.31
m
B.36
m
C.38
m
D.40
m
【解析】选B.x=(3t2+2t)dt=(t3+t2)=33+32=36(m)
【误区警示】解答此类题目时一定要注意求的是位移还是路程，二者有本质区别，否则就会导致求解错误.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a=，那么从3小时到6小时期间内的产量为____________.
【解析】dt==6-3.
答案：6-3
6.模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足a(t)=100-4t2，则火箭前3s内的位移等于________.
【解析】由题设知，t=0时，v(0)=0，s(0)=0，
所以v(t)=(100-4t2)dt=100t-t3，
那么s=v(t)dt
=dt==423(m)，
所以火箭前3s内的位移为423m.
答案：423m
【误区警示】本题容易混淆运动物体的加速度与瞬时速度的关系，变速直线运动的速度问题的一般解法：做变速直线运动的物体所具有的速度v，等于其加速度函数a=a(t)在时间区间[m，n]上的定积分，即v=a(t)dt.
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.
A，B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24-1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：
(1)A，C间的距离.
(2)B，D间的距离.
(3)电车从A站到B站所需的时间.
【解析】(1)设A到C经过t1s，
由1.2t1=24得t1=20(s)，
所以AC=1.
2tdt=0.6t2=240(m).
(2)设从D到B经过t2s，
由24-1.2t2=0得t2=20(s)，
所以DB=(24-1.2t)dt=240
(m).
(3)CD=7200-2×240=6720(m).
从C到D的时间为t3==280(s).
于是所求时间为20+280+20=320(s).
8.一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x=0运动到x=a时，阻力做的功.
【解析】物体的速度v=x′(t)=(bt3)′=3bt2，
媒质阻力F阻=kv2=k·(3bt2)2=9kb2t4.(其中k为比例常数，k>0)
当x=0时，t=0，当x=a时，t=t1=，
所以阻力做的功是：W阻=F阻ds=kv2·vdt
=kv3dt=k
(3bt2)3dt=kb3
=k=ka2.
能力提升训练
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.已知一质点做自由落体运动，其速度v=gt，则质点从t=0到t=2所经过的路程为(　　)
A.
g
B.2g
C.3g
D.4g
【解析】选B.s=gtdt=gt2=2g.
2.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7―3t+(t的单位：s，
v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)
A.1+25ln5
B.8+25ln
C.4+25ln5
D.4+50ln2
【解析】选C.令7―3t+=0，
则t=4或t=-<0，舍去.
dt=
=4+25ln5.
3.一物体在力F(x)=(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4(单位：m)处，则力F(x)做的功为(　　)
A.44
J
B.46
J
C.48
J
D.50
J
【解题指南】物体在0m到2m上做的功等于10×2=20(J)，在2m到4m上做的功为(3x+4)dx.
【解析】选B.
W=10×2+(3x+4)dx
=20+
=20+26=46(J).
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.汽车从A处起以速度v(t)=v0-at(m/s)(其中v0，a均为正的常数)开始减速直线行驶，至B点停止，则A，B之间的距离s=________m.
【解析】汽车从A处起以速度v(t)=v0-at(m/s)开始减速直线行驶，至B点停止时，
v(t)=0 v0-at=0 t=，
则A，B之间的距离s=(v0-at)dt
=(v0t-at2)|=(m).
答案：
5.已知弹簧原长为20
cm，在弹性限度内，弹簧所受
200
N的拉力所做的功为10
J，则此时弹簧的长度为________.
【解题指南】设出弹簧的伸长量，表示变力的函数式，根据变力做功的公式建立方程，计算要注意单位换算.
【解析】设弹簧所受的拉力F(x)=kx，弹簧受200N拉力的伸长量为l(m)，由题意得200=kl，即k=，所以F(x)=x，
依题意得W=xdx=10，
所以x2|=10，
即100l=10，所以l=0.1(m)=10
cm，
所以此时弹簧长度为30cm.
答案：30cm
三、解答题(每小题10分，共20分)
6.已知物体从水平地面做竖直向上抛运动的速度-时间曲线如图，求物体：
(1)距离水平地面的最大值.
(2)从t=0(s)到t=6(s)的位移.
(3)从t=0(s)到t=6(s)的路程.
【解题指南】(1)求速度为0时的时间区间上的位移.
(2)求0～6s内速度函数的定积分.
(3)求0～6s内速度函数的绝对值的定积分.
【解析】(1)设速度-时间函数式为v(t)=v0+at，将点(0，40)，(6，-20)的坐标分别代入，得v0=40，a=-10，所以v(t)=40-10t，
令v(t)=0 40-10t=0 t=4，
物体从0s运动到距离水平地面的最大值为
s=(40-10t)dt=(40t-5t2)=80(m).
(2)由上述可知，物体在0～6s内的位移为
s=(40-10t)dt=(40t-5t2)
=60(m).
(3)由上述可知，物体在0～6s内的路程为
s=|40-10t|dt=(40-10t)dt-(40-10t)dt
=(40t-5t2)-(40t-5t2)
=80+20=100(m).
7.有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).
(1)P从原点出发，当t=6时，求点P离开原点的路程和位移.
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值.
【解析】(1)由v(t)=8t-2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t>4时，P点向x轴负方向运动.
故t=6时，点P离开原点的路程
s1=(8t-2t2)dt-(8t-2t2)dt
=-
=.
当t=6时，点P的位移为(8t-2t2)dt
==0.
(2)依题意知(8t-2t2)dt=0，即4t2-t3=0，
解得t=0或t=6，t=0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t=6是所求的值.