1.7.3 定积分 同步练习（含答案）

1.7.3
定积分
同步练习
一、选择题
1.
下列表示图中f(x)在区间[a，b]的图像与x轴围成的面积总和的式子中，正确的是(　　)
A.f(x)dx
B.
C.f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
D.f(x)dx－f(x)dx＋f(x)dx
答案　D
2．若(2x＋)dx＝3＋ln2，则a的值是(　　)
A．6　　　　　　　　　　
B．4
C．3
D．2
答案　D
3．f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么f(x)的解析式是(　　)
A．4x＋3
B．3x＋4
C．－4x＋2
D．－3x＋4
答案　A
解析　设y＝kx＋b(k≠0)，(kx＋b)dx＝(kx2＋bx)|＝k＋b＝5，①
x(kx＋b)dx＝(kx3＋bx2)|＝，
得k＋b＝.②
解①②得
4．下列各式中正确的是(　　)
A.B.C.D．0答案　B
解析　图解如图由几何性可知选B.
5．由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0，1)所围成的图形的面积的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　如图S＝t2·t－x2dx＋x2dx－(1－t)t2，
得S＝f(t)＝t3－t2＋.
∵f′(t)＝4t2－2t，
令4t2－2t＝0.得t＝(t＝0(舍))．
可知当t＝时，S最小．最小值为S＝，选A.
6.
如图，阴影部分的面积是(　　)
A．2
B．－2
C.
D.
答案　C
7．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为(　　)
A.
B.
C.ln2
D．2ln2
答案　D
8．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有(　　)
　　　
S＝[g(x)－f(x)]dx　　
S＝(2x－2x＋8)dx
　　　　①　　　　　　
　　　②
　　　
S＝f(x)dx－f(x)dx
　S＝[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx
　　　③　　　　　　　　　　
　④
A．①③
B．②③
C．①④
D．③④
答案　D
解析　①应是S＝[f(x)－g(x)]dx，
②应是S＝2dx－(2x－8)dx，
③和④正确．故选D.
二、填空题
9．若x(a－x)dx＝2，则实数a＝________.
答案　
10．设f(x)是连续函数，且f(x)＝x＋2f
(t)dt，则f(x)＝_______.
答案　x－2
11．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，(0≤x0≤1)，则x0的值为________．
答案　
三、解答题
12.(|2－x|＋|sinx)|dx.
解析　原式＝(|x－2|)dx＋(|sinx|)dx
＝＋2＋sinxdx＋(－sinx)dx
＝＋2＋2＋cos5＋1＝＋cos5.
13．已知f(x)是一个一次函数，其图像过(3，4)，且f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．
解析　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，其图像过点(3，4)，
∴4＝3k＋b.
1＝(kx＋b)dx＝(kx2＋bx)|＝k＋b.
从而有解得
∴f(x)＝x＋.
重点班·选做题
14．求c的值，使(x2＋cx＋c)2dx最小．
解析　令y＝(x2＋cx＋c)2dx
＝(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)dx
＝(x5＋cx4＋c2x3＋cx3＋c2x2＋c2x)
＝＋c＋c2，令y′＝c＋＝0，
得c＝－，所以当c＝－时，y最小．
教师备选题
1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第2秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为________．
答案　g
2．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为，试求：
(1)过点A的坐标；
(2)过切点A的切线方程．
解析　如图所示，设切点A(x0，y0)．
由y′＝2x知过A点切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)且y0＝x，
即y＝2x0x－x.
令y＝0，得C(，0)．
设由曲线与过A点的切线及x轴围成的面积为S，则S＝S曲线OAB－S△ABC＝.
∵S曲边AOB＝x2dx＝x3＝x，
S△ABC＝BC·AB＝(x0－)·x＝x，
∴＝x－x＝.
解得x0＝1，从而A(1，1)切线方程为y＝2x－1.
3．
A，B两站相距7.2
km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t
s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到达C的速度达24
m/s，从C点到B点前的D点匀速行驶，从D点开始刹车，经t
s后，速度为(24－1.2t)m/s，在B处恰好停车，试求：
(1)A，C间的距离；
(2)B，D间的距离；
(3)从A到B的时间．
解析　(1)设A到C点经过t1s，
由1.2t1＝24，得t1＝20(s)．
∴AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240
(m)．
(2)设从D→B经过t2s，
由24－1.2t2＝0，得t2＝20(s)．
∴DB＝(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)＝240(m)．
从C到D的时间t3＝＝280(s)，
所求A到B的时间为20＋280＋20＝320(s)．
走向高考
1．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
答案　C
解析　利用积分求出阴影部分的面积，应用几何概型的概率计算公式求解．
∵S阴影＝(－x)dx＝(x－x2)＝－＝，又S正方形OABC＝1，∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为＝.
2．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
答案　B
解析　y′＝
＝，故y′x＝＝，
∴曲线在点M(，0)处的切线的斜率为.
3．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1，0)
答案　C
解析　由题意知x>0，且f′(x)＝2x－2－，
即f′(x)＝>0，∴x2－x－2>0，
解得x<－1或x>2.又∵x>0，∴x>2.
4．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)
A.
B．4
C.
D．6
答案　C
解析　由得其交点坐标为(4，2)．
因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为
[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx
＝(x－x2＋2x)＝×8－×16＋2×4＝.
5．函数y＝－2sinx的图像大致是(　　)
答案　C
解析　因为y＝－2sinx是奇函数，所以其图像关于原点对称，因此可排除A.为求解本题，应先研究＝2sinx，即sinx＝x，在同一坐标系内作出y1＝sinx与y2＝x的图像，如下图，可知，当x>0时，y1＝sinx与y2＝x只有一个交点，设其交点坐标为(x0，y0)，则当x∈(0，x0)时，sinx>x，即2sinx>x，此时，y＝x－2sinx<0.又f′(x)＝－2cosx，因此当x>0时，可以有f′(x)>0，也可以有f′(x)<0，即函数有增有减，有多个极值点，且极值点呈周期性，因此可排除B、D，故选C.
6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
答案　C
解析　∵y＝f(x)＝－x3＋81x－234，
∴y′＝－x2＋81.
令y′＝0，得x＝9，x＝－9(舍去)．
当00，函数f(x)单调递增；
当x>9时，y′<0，函数f(x)单调递减．
故当x＝9时，y取最大值．
7．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A．[0，)
B．[，)
C．(，]
D．[，π)
答案　D
解析　∵y＝，∴y′＝.
令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1.
∴y′＝＝－.
再令＝m，则0∴y′＝4m2－4m＝4(m－)2－1，m∈(0，1)．
容易求得－1≤y′<0，∴－1≤tanα<0，得π≤α<π.
8．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．
答案　y＝4x－3
解析　利用导数的几何意义先求得切线斜率．
∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4.
∴k＝y′|x＝1＝4.
∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
9．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
答案　
10．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
答案　2
解析　由f(x)＝x3－3x2＋1，可得f′(x)＝3x2－6x＝
3x(x－2)．
当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．
11．已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
解析　(1)f′(x)＝(x2－k2)e.
令f′(x)＝0，得x＝±k.
当k>0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－k)
－k
(－k，k)
k
(k，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
4k2e－1
↘
0
?
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．
当k<0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，k)
k
(k，－k)
－k
(－k，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
0
?
4k2e－1
↘
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．
(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，所以不会有
x∈(0，＋∞)，f(x)≤.
当k<0时，由①知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是
f(－k)＝.
所以 x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤.解得－≤k<0.
故当 x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0)．
教师备选题
1．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切．
(1)求a，b的值；
(2)证明：当0解析　(1)由y＝f(x)过(0，0)点，得b＝－1.
由y＝f(x)在(0，0)点的切线斜率为，
又y′|x＝0＝(＋＋a)|x＝0＝＋a，
得a＝0.
(2)证法一　由均值不等式，当x>0时，2记h(x)＝f(x)－，则
h′(x)＝＋－
＝－
<－
＝.
令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.
因此g(x)在(0，2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得
g(x)<0，所以h′(x)<0.
因此h(x)在(0，2)内是递减函数，
又h(0)＝0，得h(x)<0.于是
当0证法二　由(1)知f(x)＝ln(x＋1)＋－1.
由均值不等式，当x>0时，
2令k(x)＝ln(x＋1)－x，则k(0)＝0，k′(x)＝－1＝<0.
故k(x)<0，即ln(x＋1)由①②，得当x>0时，f(x)记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9
＝[3x(x＋1)＋(x＋6)(2＋)－18(x＋1)]
<[3x(x＋1)＋(x＋6)(3＋)－18(x＋1)]
＝(7x－18)<0.
因此h(x)在(0，2)内单调递减，又h(0)＝0，
所以h(x)<0，即f(x)<.