1.1.1
变化率问题
同步练习
一、选择题
1.
一物体的运动方程是s＝2t2，则从2
s到3
s这段时间内路程的增量为( )
A．18
B．8
C．10
D．12
答案：C
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝( )
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
答案：D
3．函数y＝在区间[1，3]上的平均变化率为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：＝＝－.故选B.
答案：B
4．一个做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是，则此物体在区间[0，0.001]内的平均变化率接近( )
A．0
B．3
C．－2
D．3－2t
答案：B
5．下表为某大型超市一个月的销售收入情况表，则本月销售收入的平均增长率为( )
日期
5
10
15
20
25
30
销售收入/万元
20
40
90
160
275
437.5
A.一样
B．越来越大
C．越来越小
D．无法确定
答案：B
二、填空题
6．y＝f(x)＝2＋x2在区间[3，3＋Δx]的函数值的改变量Δy＝
________.
答案：6Δx＋(Δx)2
7．函数f(x)＝－1＋x2在x0到x0＋Δx之间的函数值的平均变化率为________．
答案：2x0＋Δx
8．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，且y＝f(x)在[2，a]上的平均变化率为，则a＝________.
解析：在区间[2，a]上的平均变化率＝＝，由已知可得a＝.
答案：
三、解答题
9．一物体做直线运动，其路程s与时间t的关系是s＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
解析：由于v＝＝＝3－t，
所以当t＝0时，v0＝3，即为所求的初速度．
(2)求t＝0到t＝1的平均速度．
解析：Δs＝s(1)－s(0)＝3×1－12－0＝2，Δt＝1－0＝1，所以＝＝2，所以从t＝0到t＝1的平均速度为2.
10．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．
解析：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．1.1.1和1.1.2
变化率问题、导数的概念
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f(x)＝2x2－1在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率等于( )
A．4
B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2
D．4x
解析： 因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以＝4＋2Δx，故选B.
答案： B
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.41
B．2
C．0.3
D．0.2
解析： ＝＝2.
答案： B
3．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
解析： 根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.
答案： C
4．若f(x)在x＝x0处存在导数，则
( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．以上答案都不对
解析： 由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知函数y＝2x2－1的图象上一点
(1，1)及其邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则等于________．
解析： ＝＝4＋2Δx.
答案： 4＋2Δx
6．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是__________ .
解析： ∵＝＝－Δx－3，
∴
＝－3.
答案： －3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数y＝x2－2x＋1在x＝2附近的平均变化率．
解析： 设自变量x在x＝2附近的变化量为Δx，则y的变化量Δy＝[(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋1]－(22－4＋1)＝(Δx)2＋2Δx，
所以，平均变化率＝＝Δx＋2.
8．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，求常数a.解析： 因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以＝4a＋aΔt，
即当t＝2时，瞬时速度为
＝4a，即4a＝8.所以a＝2.
9.
已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
解析： ∵f′(x0)＝
＝
＝
＝
(－8＋2x0＋Δx)
＝－8＋2x0，
∴－8＋2x0＝4，解之得x0＝3.
