1.1.2
导数的概念
同步练习
一、选择题
1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么
为( )
A．从时间t到t＋Δt时，物体的平均速度
B．时间为t时该物体的瞬时速度
C．当时间为Δt
时该物体的速度
D．从时间t到t＋Δt时位移的平均变化率
答案：B
2．函数f(x)＝在x＝3处的导数是( )
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝－＝，所以＝，于是f(x)在x＝3处的导数为f′(3)＝
＝－.故选C.
答案：C
3．一物体运动满足方程s＝4t2＋2t－3且s′(5)＝42
m/s，其实际意义是( )
A．物体5
s内共走过42
m
B．物体每5
s钟运动42
m
C．物体开始运动到第5
s运动的平均速度是42
m/s
D．物体以t＝5
s时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42
m
答案：D
4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2
s时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A．1
B.
C.
D.
解析：Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，＝＋Δt，则s′|t＝2＝
＝.故选C.
答案：C
5．设函数f(x)在x0处可导，则
＝( )
A．f′(x0)
B．
f′(－x0)
C．－f′(x0)
D．－f(－x0)
答案：C
6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于( )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析：f′(1)＝
＝a＝a＝2.故选A.
答案：A
7．若f′(x0)＝2，则
等于( )
A．－1
B．－2
C．1
D.
解析：
＝－·
＝－f′(x0)＝－1.故选A.
答案：A
二、填空题
8.
一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝＝
＝
(7Δt＋14t0－13)＝14t0－13.
令14t0－13＝1，得t0＝1.
答案：1
三、解答题
9．求函数f(x)＝x3＋2x＋1在x0＝1处的导数f′(1)．
解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(Δx)3＋3(Δx)2＋5Δx，
∴f′(1)＝＝＝5.
10．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋5＝g′(x0)的x0值．
解析：由导数的定义可知
f′(x0)＝＝2x0，
g′(x0)＝＝3x，
因为f′(x0)＋5＝g′(x0)，所以2x0＋5＝3x，
即3x－2x0－5＝0
解得：x0＝－1或x0＝.1.1.3
导数的几何意义
同步练习
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在点P
(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么( )
A．f′(x0)＝0
B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＞0
D．f′(x0)不确定
答案：B
2．已知曲线f(x)＝－和点M(1，－2)，则曲线在点M处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋4
B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4
D．y＝2x＋4
解析：＝＝，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.
所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故选C.
答案：C
3．曲线y＝x2－4x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为( )
A．(－2，12)
B．(－1，5)
C．(1，－3)
D．
(2，－4)
解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)，
因为Δy＝(x＋Δx)2－4(x＋Δx)－(x2－4x)＝2xΔx＋(Δx)2－4Δx，所以＝2x＋Δx－4.
所以f′(x)＝
＝
(2x＋Δx－4)＝2x－4.
由f′(x0)＝0，即2x0－4＝0，得x0＝2，
代入曲线方程得y0＝－4.
所以点P坐标为(2，－4)．故选D.
答案：D
4．设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是( )
A．2
B．－1
C.
D．－2
答案：B
5．函数y＝在x＝处的切线与两坐标轴所围成图形的面积是( )
A．2
B．3
C.
D.
解析：＝＝－.
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－4所以f′＝－4，切线方程是y－2＝－4，解得与坐标轴的交点是(0，4)和
(1，0)，故所围成图形的面积为2.故选A.
答案：A
二、填空题
6．曲线f(x)＝x2－5x在x＝2处的切线的倾斜角是____________．
答案：135°
7．若f′(x0)＝2，则li
＝
________________________________________________________________________.
答案：－1
8．已知函数f(x)在区间[0，3]上图象如下图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f′(3)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________(请用“＞”连接)．
答案：k1＞k2＞k3
三、解答题
9．求曲线y＝f(x)＝x2＋3的切线，使之与直线y＝6x－5平行．
解析：设切点为(x0，y0)．
因为Δy＝f(x0＋Δx)－f
(x0)＝(x0＋Δx)2－x＝2Δx·x0＋(Δx)2，所以＝＝2x0＋Δx.
所以＝2x0，即f′(x0)＝2x0，令2x0＝6，得x0＝3，
即在点(3，12)处的切线平行于y＝6x－5，此时切线方程为y－12＝6(x－3)，即6x－y－6＝0.
10．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1处的切线方程；
解析：将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，所以P(1，1)为切点．
因为y′＝＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
所以切线的斜率为3.
所以过点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由(1)中求得的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
解析：由 得(x－1)2(x＋2)＝0，
解得x1＝1，x2＝－2.
从而求得公共点为P(1，1)，M(－2，－8)．
所以切线与曲线C的公共点除了切点P外，还有另外的点．
