1.1.3
导数的几何意义
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知曲线y＝2x2上一点A(2，8)，则曲线在点A处的切线斜率为( )
A．4
B．16
C．8
D．2
解析： 因为＝＝4x＋2Δx，所以
f′(x)＝
＝
(4x＋2Δx)＝4x.
则点A处的切线斜率k＝f′(2)＝8.
答案： C
2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0
B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0
D．2x－y－1＝0
解析： 由导数定义求得y′＝2x，
∵抛物线y＝x2的切线与直线2x－y＋4＝0平行，
∴y′＝2x＝2 x＝1，即切点为(1，1)，
∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0，故选D.
答案： D
3．已知曲线y＝x3上过点(2，
8)的切线方程为12x－ay－16＝0，则实数a的值为( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析： ∵y′|x＝2＝
＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12，
∴＝12，∴a＝1.故选B.
答案： B
4．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则切点坐标为( )
A．(2，3)
B．(3，8)
C．(4，15)
D．(－2，3)
解析： 由导数定义求得y′＝2x，设切点坐标为(x0，y0)，
则由题意知y′|x＝x0＝4，即2x0＝4，
∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．
解析： 根据题意可设切点为P(x0，y0)，
因为Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x)
＝2xΔx＋(Δx)2－3Δx，
＝2x＋Δx－3，
所以f′(x)＝
＝
(2x＋Δx－3)＝2x－3.
由f′(x0)＝0，即2x0－3＝0，得x0＝，
代入曲线方程得y0＝－，
所以P.
答案：
6．给出下列四个命题：
①若函数f(x)＝，则f′(0)＝0；
②曲线y＝x3在点(0，0)处没有切线；
③曲线y＝在点(0，0)处没有切线；
④曲线y＝2x3上一点A(1，2)处的切线斜率为6.
其中正确命题的序号是________．
解析： ①f(x)＝在点x＝0处导数不存在．
②y＝x3在点(0，0)处切线方程为y＝0.
③y＝在点(0，0)处切线方程为x＝0.
④k＝y′|x＝1＝
＝6.
故只有④正确．
答案： ④
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线．
解析： 曲线y＝3x2－4x＋2在M(1，1)的斜率
k＝y′|x＝1＝
＝
(3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1，2)直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
8．(1)已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
(2)在曲线y＝x2上哪一点处的切线，满足下列条件：
①平行于直线y＝4x－5；
②垂直于直线2x－6y＋5＝0；
③与x轴成135°的倾斜角．
分别求出该点的坐标．
解析： (1)设切点P(x0，y0)，
由y′＝
＝
＝
(4x＋2Δx)＝4x，
得k＝y′|x＝x0＝4x0，根据题意4x0＝8，
x0＝2，代入y＝2x2－7得y0＝1.
故所求切点为P(2，1)．
(2)f′(x)＝
＝
＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
①因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2，4)．
②因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，得
x0＝－，y0＝，即P.
③因为切线与x轴成135°的倾斜角，则其斜率为－1.
即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P.
?
9.已知抛物线y＝x2，直线l：x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线l的最短距离．
解析： 根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝
＝2x0＝1，
所以x0＝，
所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.1.1.3
导数的几何意义
同步练习
1．曲线y＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则切线方程为( )
A．y＝4x
B．y＝4x－4
C．y＝4x－8
D．y＝4x或y＝4x－4
[答案]
D
[解析] y′＝
＝
＝
((Δx)2＋3xΔx＋3x2＋1)
＝3x2＋1.
由条件知，3x2＋1＝4，∴x＝±1，
当x＝1时，切点为(1，0)，切线方程为y＝4(x－1)，
即y＝4x－4.
当x＝－1时，切点为(－1，－4)，切线方程为y＋4＝4(x＋1)，
即y＝4x.
2．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( )
A．∪
B．∪
C．
D．
[答案] A
[解析] 设P(x0，y0)，
∵f
′(x)＝li
＝3x2－，∴切线的斜率k＝3x－，
∴tanα＝3x－≥－.
∴α∈∪.故应选A.
3．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为( )
A．[－1，－]
B．[－1，0]
C．[0，1]
D．[，1]
[答案] A
[解析] 考查导数的几何意义．
∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－.
4．已知f(x)＝x2＋3xf
′(2)，则f
′(2)＝________.
[答案] －2
[解析] ∵f
′(x)＝2x＋3f
′(2)，
∴f
′(2)＝4＋3f
′(2)，∴f
′(2)＝－2.
5．求过点(2，0)且与曲线y＝相切的直线方程．
[解析] 易知(2，0)不在曲线y＝上，令切点为(x0，y0)，则有y0＝.
①
又y′＝
＝
＝－，
所以y′|x＝x0＝－，
即切线方程为y＝－(x－2)
而＝－
②
由①②可得x0＝1，
故切线方程为y＋x－2＝0.
6．若直线y＝kx是曲线y＝x3－3x2＋2x上一点处的切线，求实数k的值．
[解析] 设切点(x0，x－3x＋2x0)
∵＝
＝(Δx)2＋3x＋3Δx·x0－6x0－3Δx＋2，
∴
＝3x－6x0＋2，
∴k＝3x－6x0＋2，切线方程为
y－(x－3x＋2x0)＝(3x－6x0＋2)(x－x0)，
切线过原点，
∴0－(x－3x＋2x0)＝(3x－6x0＋2)(0－x0)，
解得x0＝0或，则k＝2或－.
7．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
[解析] (1)y′|x＝1
＝li
＝3，
所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
y′|x＝b＝li
＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝
(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，所以l2的方程为：y＝－x－.
(2)由得
即l1与l2的交点坐标为.
又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1，0)，.
所以所求三角形面积S＝××＝.
