1.2.2
导数的运算法则
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2′(x2)′
C．′＝
D．(cos
x·sin
x)′＝(sin
x)′cos
x＋(cos
x)′cos
x
解析： A项中(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确．
答案： A
2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝( )
A．0
B．－4
C．－2
D．2
解析： 因为f′(x)＝2x＋2f′(1)，
所以f′(1)＝2＋2f′(1)．
解得f′(1)＝－2，所以f′(x)＝2x－4，
所以f′(0)＝－4.故选B.
答案： B
3．曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为( )
A．x－y－2＝0
B．x＋y－2＝0
C．x＋4y－5＝0
D．x－4y－5＝0
解析： y′＝，
∵点(1，1)在曲线上，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝|x＝1＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x＋y－2＝0.
答案： B
4．若函数f(x)＝exsin
x，则此函数图象在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为( )
A．
B．0
C．钝角
D．锐角
解析： f′(x)＝exsin
x＋excos
x＝ex(sin
x＋cos
x)＝exsin，f′(3)＝e3sin＜0，则此函数图象在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为钝角．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数y＝的导数是________．
解析： y′＝′
＝
＝＝.
答案：
6．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.
解析： y′＝4x3＋2ax，因为曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，
所以y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.
答案： －6
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列函数的导数：
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝；(4)y＝－sin
.
解析： (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′
＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′
＝5x4－9x2－10x.
(2)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.
方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)方法一：y′＝′
＝
＝
＝.
方法二：∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝－
＝.
(4)∵y＝－sin
＝－sin＝sin
x，
∴y′＝′＝(sin
x)′＝cos
x.
8．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝sin2；
(3)y＝ln(2x2＋x)；(4)y＝x·.
解析： (1)设u＝1－3x，则y＝u－4，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u－4)′·(1－3x)′
＝－4u－5·(－3)＝12u－5
＝12(1－3x)－5＝.
(2)设y＝u2，u＝sin
v，v＝2x＋，
则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos
v·2
＝4sin
v·cos
v
＝2sin
2v＝2sin.
(3)设u＝2x2＋x，则yx′＝yu′·ux′
＝(ln
u)′·(2x2＋x)′
＝·(4x＋1)＝.
(4)y′＝x′·＋x·()′.
先求t＝的导数．
设u＝2x－1，则t＝u，
tx′＝tu′·ux′＝·u－·(2x－1)′
＝××2＝.
∴y′＝＋＝.
???
9.已知曲线y＝e2x·cos
3x在点(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
解析： ∵y′＝(e2x)′·cos
3x＋e2x·(cos
3x)′
＝2e2x·cos
3x－3e2x·sin
3x，
∴y′|x＝0＝2，∴经过点(0，
1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，
即y＝2x＋1.
设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，
根据题意，得＝，解得b＝6或－4.
∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.1.2.1
基本初等函数的导数公式
同步练习
一 选择题
1.下列函数满足f(x)=f′(x)的是(
)
A.f(x)=2x
B.f(x)=x
C.f(x)=0
D.f(x)=1
答案:C
2.在曲线y=x2上切线的倾斜角为的点是(
)
A.
B.(2，4)
C.
D.
答案:D
3.给出下列结论:
①(cos
x)′=sin
x；②′=cos
；③若y=，则y′=-；④′=.
其中正确的个数是(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案:B
4.过曲线y=上一点P的切线的斜率为-4，则点P的坐标为(
)
A.
B.或
C.
D.
答案:B
5.曲线y=在x=1处的切线的倾斜角的正切值为(
)
A.-
B.
C.-
D.
解析:y′=′==-x-，所以y′|x=1=-，即曲线在x=1处的切线的倾斜角的正切值为-.故选C.
答案:C
二 填空题
6.如果f(x)=sin
x，则f′(6π)=________.
答案:
1
7.求下列函数的导数:
(1)
(
)′=________；
答案:
(2)′=____________.
答案:
8.设函数f(x)=logax，f′(1)=-1，则a=
________________________________________________________________________.
解析:因为f′(x)=，所以f′(1)==-1.
所以ln
a=-1，所以a=.
答案:
三 解答题
9.(1)求函数y=ax在点P(3，f(3))处的导数；
(2)求函数y=ln
x在点Q(5，ln
5)处的导数.
分析:先按求导公式求出导函数，再求导函数在相应点的函数值.
解析:(1)∵y=ax，∴y′=(ax)′=axln
a，则y′|x=3=a3ln
a.
(2)∵y=ln
x，∴y′=(ln
x)′=，则y′|x=5=.
10.
已知抛物线y=x2，直线x-y-2=0，求抛物线上的点到直线的最短距离.
解析:根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线，对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，因为y′=2x，则y′|x=x0=2x0=1，
所以x0=，所以切点坐标为，
所以切点到直线x-y-2=0的距离
d==，
所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为.1.2.1
基本初等函数的导数公式
同步练习
1．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．
y＝－2x－3
D．y＝－2x－2
[答案] A
[解析] 本小题主要考查导数的运算及其几何意义，直线的点斜式方程等基础知识．
∵f
′(－1)＝
＝
＝
＝2，
∴曲线在(－1，－1)处的切线方程为y－(－1)＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
2．过点P(－2，0)作曲线y＝的切线，求切线方程．
[解析] 因为点P不在曲线y＝上，
故设切点为Q(x0，)，∵y′＝，
∴过点Q的切线斜率为：＝，∴x0＝2，
∴切线方程为：y－＝(x－2)，
即：x－2y＋2＝0.
