1.2.2
导数的运算法则
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
[答案] A
[解析] ∵直线x＋4y－8＝0的斜率k＝－，∴直线l的斜率为4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝1，故直线l的方程为：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.
2．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f
′(－1)＝4，则a的值等于( )
A．
B．
C．
D．
[答案] B
[解析] ∵f
′(x)＝3ax2＋18x＋6，
∴由f
′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝.
∴选B.
3．设f(x)＝sinx－cosx，则f(x)在x＝处的导数f
′()＝( )
A．
B．－
C．0
D．
[答案] A
[解析] ∵f
′(x)＝cosx＋sinx，
∴f
′()＝cos＋sin＝，故选A.
4．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A．
B．
C．
D．1
[答案] B
[解析] 对y＝xn＋1(n∈N
)求导得y′＝(n＋1)xn，令x＝1得在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．
令y＝0，得xn＝.
则x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.
5．下列函数中，导函数是奇函数的是( )
A．y＝sinx
B．y＝ex
C．y＝lnx
D．y＝cosx－
[答案] D
[解析] 由y＝sinx得y′＝cosx为偶函数，故A错；又y＝ex时，y′＝ex为非奇非偶函数，∴B错；C中y＝lnx的定义域x>0，∴C错；D中y＝cosx－时，y′＝－sinx为奇函数，∴选D.
6．已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )
A．0秒、2秒或4秒
B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒
D．0秒、4秒或8秒
[答案] D
[解析] 显然瞬时速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)，令v＝0可得t＝0，4，8.故选D.
二、填空题
7．过曲线y＝cosx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程为________．
[答案] 2x－y－＋＝0
[解析] ∵y＝cosx，∴y′＝－sinx，
曲线在点P处的切线斜率是
y′|x＝＝－sin＝－.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为，
∴所求的直线方程为y－＝，
即2x－y－＋＝0.
[点评] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y′是否为零，当y′＝0时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在．
8．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f
′(x)>0的解集为________．
[答案] (2，＋∞)
[解析] 由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函数定义域为(0，＋∞)，且f
′(x)＝2x－2－＝＝2·＝2·，f
′(x)>0，解得x>2，故f
′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
9．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．
[答案] (2，1)
[解析] 设P(x0，y0)，
∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，
∴－8x＝－1.∴x0＝2，y0＝1.
三、解答题
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x(x2＋＋)；(2)y＝(＋1)(－1)；
(3)y＝sin4＋cos4；(4)y＝＋
.
[解析] (1)∵y＝x＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(2)∵y＝(＋1)＝－x＋x－，
∴y′＝－x－－x－＝－.
(3)∵y＝sin4＋cos4
＝2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，
∴y′＝－sinx.
(4)∵y＝＋＝＋
＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
能力拓展提升
一、选择题
11．已知直线y＝kx是y＝ln
x的切线，则k的值为( )
A．－e
B．e
C．－
D．
[答案] D
[解析] y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，
又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，∴＝e，k＝.
12．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值为( )
A．2
B．－1
C．1
D．－2
[答案] C
[解析] 由条件知，点A在直线上，∴k＝2，又点A在曲线上，∴a＋b＋1＝3，∴a＋b＝2.由y＝x3＋ax＋b得y′＝3x2＋a，∴3＋a＝k，∴a＝－1，∴b＝3，∴2a＋b＝1.
13．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )
A．
B．0
C．钝角
D．锐角
[答案] C
[解析] y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)<0，故倾斜角为钝角，选C.
14．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2013(x)等于( )
A．sinx
B．－sinx
C．cosx
D．－cosx
[答案] C
[解析] f0(x)＝sinx，
f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，
∴4为最小正周期，
∴f2013(x)＝f1(x)＝cosx.故选C.
二、填空题
15．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f
′(0)＝________.
[答案] 212
[解析] f
′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x
＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，
所以f
′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′·0＝a1a2…a8.
因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f
′(0)＝84＝212.
16．经过点P(2，1)且与曲线f(x)＝x3－2x2＋1相切的直线l的方程是________．
[答案] 4x－y－7＝0或y＝1
[解析] 设切点为(x0，x－2x＋1)，
由k＝f
′(x0)＝3x－4x0，可得切线方程为
y－(x－2x＋1)＝(3x－4x0)(x－x0)，
代入点P(2，1)解得：x0＝0或x0＝2.
当x0＝0时切线方程为y＝1；
当x0＝2时切线方程为4x－y－7＝0.
综上得直线l的方程是：4x－y－7＝0或y＝1.
三、解答题
17．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析] 由于y＝sinx、y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为
k1＝y′|x＝x0＝cosx0，k2＝y′|x＝x0＝－sinx0.
若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，
即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
18．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线的方程为x＋2y＋5＝0，求函数的解析式．
[分析] f(x)在点M处切线方程为x＋2y＋5＝0有两层含义，(一)是点M在f(x)的图象上，且在直线x＋2y＋5＝0上，(二)是f
′(－1)＝－.
[解析] 由条件知，－1＋2f(－1)＋5＝0，
∴f(－1)＝－2，
∴＝－2，(1)
又直线x＋2y＋5＝0的斜率k＝－，
∴f
′(－1)＝－，
∵f
′(x)＝，
∴＝－，(2)
由(1)(2)解得，a＝2，b＝3.(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．
∴所求函数解析式为f(x)＝.1.2.2
导数的运算法则
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] D
[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.
2．曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2
B．y＝2x－2
C．y＝x－1
D．y＝x＋1
[答案] C
[解析] ∵f
′(x)＝lnx＋1，∴f
′(1)＝1，
又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f
′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N
)的前n项和是
( )
A．
B．
C．
D．
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f
′(x)＝2x＋1，
∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，
∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
∴数列{}(n∈N
)的前n项和为：
Sn＝＋＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－＝，
故选A.
4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f
′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] C
[解析] 由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f
′(x)＝2ax＋b，由于f
′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a2－，
顶点在第三象限，故选C.
5．函数y＝sin2x－cos2x的导数是( )
A．y′＝2cos
B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝sin2x＋cos2x
D．y′＝2cos
[答案] A
[解析] y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′
＝2cos2x＋2sin2x＝2cos.
6．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f
′(x)的图象大致形状是( )
[答案] B
[解析] 依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f
′(x)＝2ax，显然f
′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x·2x，当f
′(x)＝0时，x＝________.
[答案] －
[解析] f
′(x)＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋xln2)，
由f
′(x)＝0及2x>0知，1＋xln2＝0，∴x＝－.
8．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f
′(x)是奇函数，则φ＝________.
[答案]
[解析] f
′(x)＝－sin(x＋φ)，
f(x)＋f
′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)
＝2sin.
若f(x)＋f
′(x)为奇函数，则f(0)＋f
′(0)＝0，
即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
9．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
[答案] ln2
[解析] ∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝，设切点为(x0，y0)，则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且＝2，解之得a＝ln2.
三、解答题
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)的图象过点P(0，1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∵f
′(x)|x＝1＝4a＋2c，
∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
能力拓展提升
一、选择题
11．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] D
[解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．
令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－.
∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.
12．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝( )
A．9
B．6
C．－9
D．－6
[答案] D
[解析] y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8，
∴a＝－6.
13．已知y＝tanx，x∈，当y′＝2时，x等于( )
A．
B．π
C．
D．
[答案] C
[解析] y′＝(tanx)′＝′＝＝＝2，
∴cos2x＝，∴cosx＝±，
∵x∈，∴x＝.
14．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数y＝f
′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线斜率为，则切点的横坐标为( )
A．
B．－
C．ln2
D．－ln2
[答案] C
[解析] f
′(x)＝ex－ae－x，由f
′(x)为奇函数，得f
′(x)＝－f
′(－x)，即(a－1)(ex＋e－x)＝0恒成立，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋e－x，设切点的横坐标为x0，由导数的几何意义有ex0－e－x0＝，解得x0＝ln2，故选C.
二、填空题
15．曲线y＝在点(1，1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
[答案] 2－1
[解析] y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2，0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，
∴所求最近距离为2－1.
16．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
[答案] 2
[解析] 设切点P(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，
又∵y′|x＝x0＝＝1.
∴x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.
三、解答题
17．求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；
(2)y＝；
(3)y＝； (4)y＝cosx·sin3x.
[解析] (1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.
(2)y′＝＝
.
(3)y′＝
＝
＝.
(4)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.
18．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.求b，c的值．
[解析] 由f(x)＝x3－x2＋bx＋c，得f(0)＝c，f
′(x)＝x2－ax＋b，f
′(0)＝b，又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f
′(0)＝0，故b＝0，c＝1.
