1.3.3
函数的最大（小）值与导数
同步练习
基础巩固强化
1．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2，1]上的最小值为( )
A．
B．2
C．－1
D．－4
[答案] C
[解析] y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(
x＋1)，
令y′＝0解得x＝或x＝－1.
当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；
当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2.
所以函数的最小值为－1，故应选C.
2．设f(x)是一个三次函数，f
′(x)为其导函数，如图是函数y＝x·f
′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是( )
A．f(1)与f
(－1)
B．f(－1)与f(1)
C．f(－2)与f(2)
D．f(2)与f(－2)
[答案] C
[解析] 由图象知f
′(2)＝f
′(－2)＝0.
∵x>2时，y＝x·f
′(x)>0，∴f
′(x)>0，
∴y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增；
同理f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，
∴y＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)，故选C.
3．已知函数f(x)＝x3＋x2－6x＋2.
(1)写出函数的单调递减区间；
(2)讨论函数的极值．
[解析] f
′(x)＝3x2＋3x－6＝3(x＋2)(x－1)，
令f
′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－2.
x变化时，f
′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，1)
1
(1，＋∞)
f
′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增
极大值f(－2)
减
极小值f(1)
增
(1)由表可得函数的递减区间为(－2，1)
(2)由表可得，当x＝－2时，函数有极大值为f(－2)＝12；当x＝1时，函数有极小值为f(1)＝－.
4．已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a、b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0.
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间[－2，4]上的最大值．
[解析] (1)f
′(x)＝x2－2ax＋a2－1，
∵(1，f(1))在直线x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，
∴2＝－a＋a2－1＋b，
又f
′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0，
解得a＝1，b＝.
(2)∵f(x)＝x3－x2＋，∴f
′(x)＝x2－2x，
由f
′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有
x
(－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
f
′(x)
＋
0
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0，2)．
∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，
∴在区间[－2，4]上的最大值为8.
5．已知函数f(x)＝x3－ax＋b，其中实数a、b是常数．
(1)已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f(1)≥0”发生的概率；
(2)若f(x)是R上的奇函数，g(a)是f(x)在区间[－1，1]上的最小值，求当|a|≥1时，g(a)的解析式．
[解析] (1)当a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}时，等可能发生的基本事件(a，b)共有9个：
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)．
其中事件A：“f(1)＝－a＋b≥0”包含6个基本事件：
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，故P(A)＝＝，即事件“f(1)≥0”发生的概率为.
(2)由f(x)＝x3－ax＋b是R上的奇函数得，f(0)＝0，∴b＝0.
∴f(x)＝x3－ax，f
′(x)＝x2－a，
①当a≥1时，因为－1≤x≤1，所以f
′(x)≤0，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，从而g(a)＝f(1)＝－a；
②当a≤－1时，因为－1≤x≤1，所以f
′(x)>0，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
从而g(a)＝f(－1)＝－＋a.
综上可得，g(a)＝.
6．已知函数f(x)＝xlnx.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)≥－x2＋ax－6在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；
(3)过点A(－e－2，0)作函数y＝f(x)图象的切线，求切线方程．
[解析] (1)∵f
′(x)＝lnx＋1，∴由f
′(x)<0得lnx<－1，
∴0(2)∵f(x)≥－x2＋ax－6，∴a≤lnx＋x＋，
设g(x)＝lnx＋x＋，则
g′(x)＝＝，
当x∈(0，2)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，g′
(x)>0，函数g(x)单调递增．
∴g(x)最小值为g(2)＝5＋ln2，
∴实数a的取值范围是(－∞，5＋ln2]．
(3)设切点T(x0，y0)，则kAT＝f
′(x0)，
∴＝lnx0＋1，即e2x0＋lnx0＋1＝0，
设h(x)＝e2x＋lnx＋1，则h′(x)＝e2＋，
当x>0时h′(x)>0，∴h(x)是单调递增函数，
∴h(x)＝0最多只有一个根，
又h()＝e2×＋ln＋1＝0，∴x0＝，
由f
′(x0)＝－1得切线方程是x＋y＋＝0.1.3.2
函数的极值与导数
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－1，极大值1
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2
D．极小值－1，极大值3
解析： y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
递减
极小值
递增
极大值
递减
所以当x＝－1时取得极小值－1，当x＝1时取得极大值3.
答案： D
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
解析： 由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，设y＝f′(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．
答案： C
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
解析： 方法一：由y＝f′(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0，2)时，f′(x)<0，则f(x)为减函数，只有C项符号，故选C.
方法二：在导函数f′(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由此可知原函数f(x)在x＝0时取得极大值．又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x＝2时取得极小值，只有选项C符合，故选C.
答案： C
4．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，则a，b的值为( )
A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11
B．a＝－4，b＝2或a＝－4，b＝11
C．a＝－4，b＝11
D．以上都不对
解析： f′(x)＝3x2－2ax－b，f′(1)＝0即2a＋b＝3 ①，
f(1)＝a2－a－b＋1＝10，即a2－a－b＝9 ②，
解由①②组成的方程组，得a＝－4，b＝11(有极值)或a＝3，b＝－3(舍去，无极值)．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
解析： f′(x)＝
＝
由题意知f′(1)＝0，
∴＝0，解得a＝3.
经验证，a＝3时，f(x)在x＝1取得极值．
答案： 3
6．若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．
解析： 函数f(x)为三次函数，其导函数f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)为二次函数，要使函数f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2.
答案： a＜－1或a＞2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设f(x)＝aln
x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解析： (1)因f(x)＝aln
x＋＋x＋1.
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln
x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，
x2＝－.
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，函数有极大值3.
(1)求a，b的值；
(2)求函数的极小值．
解析： (1)∵当x＝1时，函数有极大值3.f′(x)＝3ax2＋2bx
∴
∴
解之得a＝－6，b＝9.经验证a＝－6，b＝9符合题意．
∴a＝－6，b＝9.
(2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
当f′(x)＝0时，x＝0或x＝1.
当f′(x)>0时，0当f′(x)<0时，x<0或x>1.
∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为f(0)＝0.
9.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解析： (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－，或x>，
由f′(x)<0解得－∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值
f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3，1)．
