1.3.1
函数的单调性与导数
同步练习
基础巩固强化
1．函数f(x)的定义域为R，f
(－2)＝2013，对任意x∈R，都有f
′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2009的解集为( )
A．(－2，2)
B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－∞，＋∞)
[答案] C
[解析] 令F(x)＝f(x)－x2－2009，则F′(x)＝f
′(x)－2x<0，∴F(x)在R上为减函数，
又F(－2)＝f(－2)－4－2009＝2013－2013＝0，
∴当x<－2时，F(x)>F(－2)＝0，
∴不等式f(x)>x2＋2009的解集为(－∞，－2)．
2．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的取值范围为________．
[答案] b<－1或b>2
[解析] 若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，
由题意b＜－1或b＞2.
3．若函数f(x)的导函数f
′(x)＝x2－4x＋3，则f(x＋1)的单调递减区间是________．
[答案] (0，2)
[解析] 由f
′(x)＝x2－4x＋3<0得1
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.
(1)若f(x)的单调减区间为(－1，1)，则a的取值集合为________．
(2)若f(x)在区间(－1，1)内单调递减，则a的取值集合为________．
[答案] (1){0} (2){a|a<0}
[解析] f
′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．
(1)∵f(x)的单调减区间为(－1，1)，
∴－1和1是方程f
′(x)＝0的两根，
∴＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．
(2)∵f(x)在区间(－1，1)内单调递减，∴f
′(x)<0在(－1，1)内恒成立，
又二次函数y＝f
′(x)开口向上，一根为－1，∴必有>1，∴a<0，
∴a的取值集合为{a|a<0}．
[点评] f(x)的单调减区间为(m，n)，则必有f
′(m)＝0，f
′(n)＝0或x＝m，x＝n是函数f(x)的不连续点，f(x)在区间(m，n)上单调递减，则(m，n)是f(x)的单调减区间的子集，f
′(x)≤0在(m，n)上恒成立．
5．求证：方程x－sinx＝0只有一个根x＝0.
[证明] 设f(x)＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞)，
则f
′(x)＝1－cosx＞0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．
而当x＝0时，f(x)＝0，
∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0.
6．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
[解析] (1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，
f
′(x)＝3x2－6x＋3.
令f
′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞，－1)时，f
′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f
′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f
′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0得a≥－.
当a≥－，x∈(2，＋∞)时，
f
′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3(x2－x＋1)＝3(x－)(x－2)>0，
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是[－，＋∞)．1.3.1
函数的单调性与导数
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列函数中，在(2，＋∞)内为增函数的是( )
A．3sin
x
B．(x－3)ex
C．x3－15x
D．ln
x－x
解析： (3sin
x)′＝3cos
x，[(x－3)ex]′＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，(x3－15x)′＝3x2－15，(ln
x－x)′＝－1，当x>2时，只有[(x－3)ex]′>0恒成立，故选B.
答案： B
2．已知函数f(x)＝＋ln
x，则有( )
A．f(e)B．f(3)C．f(e)(2)D．f(2)解析： f′(x)＝＋，∴x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又2答案： D
3．函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： 设f′(x)与x轴交于x0，显然x0<0，
当x当x>x0时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．
显然f(x0)答案： C
4．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A．a≥
B．a＝1
C．a＝2
D．a≤0
解析： 因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，
即3ax2≤1恒成立．
当x＝0时，0≤1恒成立，此时a∈R；
当x≠0时，若a≤恒成立，则a≤0.
综上可得a≤0.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析： f′(x)＝－x＋，
∵f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∴b≤x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立，
又x∈(－1，＋∞)时，x(x＋2)>－1，
∴b≤－1.
答案： (－∞，－1]
6．设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是__________ .
解析： f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝3ax2＋1.
若a>0，则f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，此时，f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾；
若a＝0，则f(x)＝x，此时，f(x)也只有一个单调区间，亦与已知矛盾；
若a<0，则f′(x)＝3a，
综上可知a<0时，f(x)恰有三个单调区间．
答案： (－∞，0)
三、解答题(每小题10分，共20分)21世纪教育网
7．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln
x.
解析： (1)f′(x)＝1－3x2，
令1－3x2>0，解得－因此，函数f(x)的单调增区间为.
令1－3x2<0，解得x<－或x>.
因此，函数f(x)的单调减区间为，.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
8．求函数f(x)＝(a＋1)ln
x＋ax2＋1的单调区间．
解析： f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)单调递增．
当a≤－1时，f′(x)<0，
故f(x)在(0，＋∞)单调递减．
当－1解得x＝
则当x∈时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
9.已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解析： (1)由已知f′(x)＝3x2－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只要a≤0.
又∵a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
∴f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立．
∴a≥3x2在x∈(－1，1)上恒成立．
又∵－1当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)在x∈(－1，1)上，f′(x)<0，
即f(x)在(－1，1)上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1，1)上单调递减．