1.3.2
函数的极值与导数
同步练习
一 选择题
1.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案:A
2.下列关于函数的极值的说法正确的是(
)
A.导数值为0的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值一定小于它的极大值
C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
D.若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
解析:导数值为0的点不一定是极值点，如y=x3，y′=3x2=0时，x=0不是极值点，所以选项A错；函数的极小值不一定小于它的极大值，如y=，x=-1时，有极大值y=-1，
x=1时，有极小值y=1，所以选项B错；函数在定义域内不一定有一个极大值和一个极小值，如y=x3没有极值，所以选项C错；根据极值的定义知选项D正确.
答案:D
3.函数f(x)=x3-3x2+1在x0处取得极小值，则x0=(
)
A.0
B.2
C.-2
D.3
解析:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，当x<0时，f′(x)>0；当02时，f′(x)>0，故当x=2时取得极小值.故选B.
答案:B
4.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
5.已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是(
)
A.(2，3)
B.(3，+∞)
C.(2，+∞)
D.(-∞，3)
答案:B
二 填空题
6.
若函数f(x)=在x=1处取得极值，则a=______.
解析:
f′(x)=.
∴f′
(1)==0得a=3.
答案:3
7.函数y=x3-3x的极大值点是______，极小值点是________，极大值为________，极小值为________.
答案:x=-1
x=1
2
-2
8.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________.
解析:f′(x)=3x2+2mx+m+6有两个不等实根，即Δ=4m2-12×(m+6)>0，解得m>6或m<-3.
答案:(-∞，-3)∪(6，+∞)
三 解答题
9.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示.
(1)求x0的值；
解析:由题图，x<1时，f′(x)>0，1∴1是函数f(x)的极大值点，即x0=1.
(2)求a，b，c的值.
解析:由题知，f′(x)=3ax2+2bx+c，则
解得a=2，b=-9，c=12.
10.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a，b的值；
解析:f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4，f′(0)=4.故b=4，a+b=8.
从而a=4，b=4.
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.
解析:由(1)知，f(x)=4ex(x+1)-x2-4x，
f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).
令f′(x)=0，得x=-ln
2或x=-2.
从而当x∈(-∞，-2)∪(-ln
2，+∞)时，f′(x)>0；
当x∈(-2，-ln
2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(-∞，-2)和(-ln
2，+∞)上单调递增，在(-2，-ln
2)上单调递减.
当x=-2时，函数f(x)取得极大值，极大值为
f(-2)=4(1-e-2).1.3.2
函数的极值与导数
同步练习
基础巩固强化
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f
′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
[答案] C
[解析]设f
′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，
当x′(x)>0，f(x)为增函数，
当x1′(x)<0，f(x)为减函数，
则x＝x1为极大值点，
同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．
[点评] 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f
(x)的图象还是f
′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f
′(x)的图象，应先找出f
′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
2．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f
′(x)满足f
′(1)＝2a，f
′
(2)＝－b，其中常数a、b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f
′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f
′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∵f
′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝2a，
∵f
′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b，
∴a＝－，b＝－3，
∴f(x)＝x3－x2－3x＋1，f
′(x)＝3x2－3x－3，
∴f(1)＝－，f
′(1)＝－3，
∴切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
(2)∵g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，∴g′(x)＝(6x－3)e－x＋(3x2－3x－3)·(－e－x)，
∴g′(x)＝－3x(x－3)e－x，
∴当00，当x>3时，g′(x)<0，当x<0时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
所以g极小(x)＝g(0)＝－3，g极大(x)＝g(3)＝15e－3.
3．已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
[解析] (1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f
′(x)＝x－＝，
令f
′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0，1)时，f
′(x)<0，因此函数f(x)在(0，1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f
′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
则x＝1是f(x)的极小值点，
所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)＝.
(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝
＝，
当x>1时，
F′(x)<0，
故f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
又F(1)＝－<0，
∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立，
即f(x)因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．
