1.3.3
函数的最大(小)值与导数
同步练习
一、选择题
1．函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是( )
A．π－1
B.－1
C．π
D．π＋1
答案：C
2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，
则f x ( )
A．有最大值
B．有最小值
C．是增函数
D．是减函数
答案：A
3．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10
B．－71
C．－15
D．－22
答案：B
4．函数y＝x·e－x，x∈[0，4]的最小值为( )
A．0
B.
C.
D.
解析：f′(x)＝e－x＋xe－x·(－1)＝e－x－xe－x，令f′(x)＝0得x＝1.又f(0)＝0，f
(1)＝e－1＝，f(4)＝4e－4＝，所以f(x)min＝0，故选A.
答案：A
二、填空题
5．函数f(x)＝(－2≤x≤1)的最大值是________，最小值是________．
解析：x2＋1在x∈[－2，1]上的最大值为5，最小值为1.
答案： 1
6．函数y＝－x(x≥0)的最大值是________．
解析：y′＝－1(x≥0)．
令y′＝0，得x＝.
当x变化时，y′，y的变化情况见下表：
x
0
y′
＋
0
－
y
0
?↗
?↘
∴由上表看出，x＝时，函数的最大值为.
答案：
7．设x0是函数f
(x)＝(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．
解析：f′
(x)＝(ex－e－x)，令f′(x)＝0，所以x＝0，可知x0＝0为最小值点．切点为(0，1)，f′(0)＝0为切线斜率，所以切线方程为y＝1.
答案：y＝1
8．函数f(x)＝，x∈[－2，2]的最大值是______，最小值是______．
解析：f′(x)＝＝，
令f′(x)＝0可得x＝1或－1.
又因为f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，
所以最大值为2，最小值为－2.
答案：2 －2
三、解答题
9．函数f(x)＝x3－3ax－a在区间(0，1)内有最小值，求a的取值范围．
解析：函数在开区间内有最小值，则最小值应是函数在此区间内的极小值．
f′(x)＝3x2－3a.
若a≤0，则f′(x)≥0，f(x)无极小值，故a>0.
令f′＝0，得x＝或x＝－
(舍去)．
∵函数f(x)在(0，1)内有最小值，则x＝是f(x)的极小值点．
∴0<<1.∴0
10．已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
解析：当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，所以f(2)＝16－24＋12＝4，所以f′(x)＝6x2－12x＋6，f′(2)＝24－24＋6＝6，所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程是：y－4＝6(x－2)，即6x－y－8＝0.
(2)若|a|＞1，求y＝f(x)在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
解析：因为f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6[x2－(a＋1)x＋a]＝6(x－1)(x－a)，
①当a＞1时，x∈(－∞，1]∪[a，＋∞)时，y＝f(x)递增，x∈(1，a)时，y＝f(x)递减，所以当x∈[0，2|a|]，且2|a|＞2，x∈[0，1]∪[a，2|a|]时，y＝f(x)递增，x∈(1，a)时，y＝f(x)递减，比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可知，当13，函数最小值为f(a)＝a2(3－a)．
②当a＜－1时，且2|a|＞2，在x∈[0，2|a|]时，x∈(0，1)时，y＝f(x)递减，x∈[1，2|a|]时，y＝f(x)递增，所以最小值是f(1)＝3a－1.
综上所述：当a＞3时，函数y＝f(x)最小值是3a2－a3；
当1当a＜－1时，函数y＝f(x)最小值是3a－1.1.3.3
函数的最大（小）值与导数
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f(x)＝x＋2cos
x在区间上的最小值是( )
A．－
B．2
C．＋
D．＋1
解析： f′(x)＝1－2sin
x，
∵x∈，
∴sin
x∈[－1，0]，∴－2sin
x∈[0，2]．
∴f′(x)＝1－2sin
x>0在上恒成立，
∴f(x)在上单调递增．
∴f(x)min＝－＋2cos＝－.
答案： A
2．函数y＝的最大值为( )
A．e－1
B．e
C．e2
D．
解析： 令y′＝＝0，则x＝e
当x∈(0，e)时，y′>0，当x∈(e，＋∞)时，y′<0.
∴当x＝e时y取最大值，故选A.
答案： A
3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )
A．－37
B．－29
C．－5
D．以上都不对
解析： ∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∵f(x)在(－2，0)上为增函数，
在(0，2)上为减函数，
∴当x＝0时，f(x)＝m最大．
∴当m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值为－37.故选A.
答案： A
4．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
①f(x)>0的解集是{x|0②f(－)是极小值，f()是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值．
A．①③
B．①②③
C．②
D．①②
解析： 由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±，
当x<－或x>时，f′(x)<0.
当－0.
∴x＝－时，f(x)取得极小值，
当x＝时，f(x)取得极大值，故②正确．
当x→－∞时，f(x)<0，
当x→＋∞时，f(x)<0.
综合函数的单调性与极值画出函数草图(如下图)．
∴函数f(x)有最大值无最小值，故③不正确．
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f(x)＝＋x(x∈[1，3])的值域为________．
解析： f′(x)＝－＋1＝，所以在[1，3]上f′(x)>0恒成立，即f(x)在[1，3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.故函数f(x)的值域为.
答案：
6．设函数f(x)＝x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析： f′(x)＝xex＋x2ex
＝·x(x＋2)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.
当x∈[－2，2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
－2
(－2，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
?
?
∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，
要使f(x)＞m对x∈[－2，2]恒成立，
只需m＜f(x)min，∴m＜0.
答案： m＜0
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，x＝3是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在x∈[1，5]上的最大值和最小值．
解析： 根据题意，f′(x)＝3x2－2ax＋3，x＝3是函数f(x)的极值点，得f′(3)＝0，
即27－6a＋3＝0，得a＝5.
所以f(x)＝x3－5x2＋3x.
令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，得x＝3或x＝(舍去)．
当1当30，函数f(x)在(3，5]上是增函数．
由此得到当x＝3时，函数f(x)有极小值f(3)＝－9，也就是函数f(x)在[1，5]上的最小值；又因为f(1)＝－1，f(5)＝15，即函数f(x)在[1，5]上的最大值为f(5)＝15.
综上，函数f(x)在[1，5]上的最大值为15，最小值为－9.
8．设函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值．
解析： 函数f(x)的定义域为(0，2)，f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0，1]时，f′(x)＝＋a＞0，即f(x)在(0，1]上单调递增，故f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
?
9.已知函数f(x)＝－x＋＋ln
x在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的取值范围．
解析： 在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，
由f′(x)＝－－＋
＝－＝－，
∴当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)在上单调递减；当x∈时，f′(x)>0，
故f(x)在上单调递增；当x∈(1，2)时，f′(x)<0，
故f(x)在(1，2)上单调递减．
∴f是f(x)在上的极小值．
而f＝＋ln
＝－ln
2，f(2)＝－＋ln
2，
且f－f(2)＝－ln
4＝ln
e－ln
4，
又e3－16>0，∴ln
e－ln
4>0，
∴在上f(x)min＝f(2)，
∴c≥f(x)min＝－＋ln
2.
∴c的取值范围为.