1.4
生活中的优化问题举例
同步练习
基础巩固强化
1．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是________．
[答案] 3m3
[解析] 设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x (0V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，
∵0∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.
2．设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？
[解析] 设圆柱体的高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
由于V＝πr2h，得h＝，所以y＝4mπr2＋(r>0)．
所以y′＝8mπr－，
令y′＝0，得r＝，此时，h＝＝4.
当r∈时，y′<0，当r∈时，y′>0，因此r＝是函数y＝4mπr2＋(r>0)的极小值点，也是最小值点．
故当r＝时，y有最小值，即h?r＝4?1时，总造价最小．
答：当此铁桶的高与底面半径之比等于4?1时，总造价最小．
3．已知某厂生产x件产品的成本为c＝25000＋200x＋x2(元)．
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
[解析] (1)设平均成本为y元，则
y＝＝＋200＋(x>0)，
y′＝′＝－＋.
令y′＝0，得x1＝1000，x2＝－1000(舍去)．
当在x＝1000附近左侧时，y′<0；
在x＝1000附近右侧时，y′>0；
故当x＝1000时，y取得极小值．
由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品．
(2)利润函数为L＝500x－(25000＋200x＋)
＝300x－25000－.
∴L′＝300－.
令L′＝0，得x＝6000，当x在6000附近左侧时，L′>0；当x在6000附近右侧时，L′<0，故当x＝6000时，L取得极大值．
由于函数只有一个使L′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6000件产品．
4．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补其经济损失并获得一定的净收入．在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系式x＝2000.若乙方每生产1吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)．
(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出使乙方获得最大年利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
[解析] (1)因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为w＝2000－st.
w′＝－s＝.
令w′＝0，得t＝t0＝2.
当t0；当t>t0时，w′<0，
所以t＝t0时，w取得最大值．
因此乙方获得最大年利润的年产量是2吨．
(2)设甲方净收入为v元，则v＝st－0.002t2.
将t＝2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v＝－×109.
又v′＝，令v′＝0，得s＝20.
当s<20时，v′>0；当s>20时，v′<0，所以s＝20时，v取得最大值．
因此当甲方向乙方要求的赔付价格s＝20(元/吨)时，获最大净收入．
5．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N＋)．
(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；
(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
[解析] (1)由意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．
因为次品率p＝，当每天生产x件时，
有x·件次品，有x件正品．
所以T＝200x－100x·
＝25·(x∈N＋)．
(2)T′＝－25·，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．当06.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上．记CD＝2x，梯形面积为S.
(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值．
[解析]
(1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系(如图)，设点C的横坐标为x.
点C的纵坐标y满足方程＋＝1(y≥0)，
解得y＝2(0S＝(2x＋2r)·2＝2(x＋r)·，
其定义域为{x|0(2)记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0则f
′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
令f
′(x)＝0，则x＝r.因为当0′(x)>0；
当′(x)<0，所以f(r)是f(x)的最大值．
因此，当x＝r时，S取得最大值，最大值为＝r2，即梯形面积S的最大值为r2.1.4
生活中的优化问题举例
同步练习
一、选择题
1．一周长为l的扇形，当面积达到最大值时，扇形的半径的( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设半径为r，则弧长为l－2r.
S扇＝·弧长·半径＝(l－2r)·r＝－r2＋r.
令S′扇＝－2r＋＝0，得r＝.
2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )
A．10
B．15
C．25
D．50
答案 C
3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20
cm，要使体积最大，则其高为( )
A.
cm
B．100
cm
C．20
cm
D.
cm
答案 A
4．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为( )
A．30海里/时
B．25海里/时
C．20海里/时
D．10海里/时
答案 C
二、填空题
5．如图，两个工厂A、B相距0.6
km，变电站C距A、B都是0.5
km，计划铺设动力线，先由C沿AB的垂线至D，再与A、B相连，D点选在距AB________km处时，动力线最短．
答案
解析 设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为x
km.
由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5，得AE＝EB＝0.3.
∴CE＝＝＝0.4.
∴CD＝0.4－x.
∴AD＝BD＝＝＝.
∴动力线总长l＝AD＋BD＋CD
＝2＋0.4－x.
令l′＝2·－1＝＝0，
即2x－＝0.解得x＝.(∵x＞0)
当x＜时，l′＜0；当x＞时，l′＞0.
∴l在x＝时有最小值．
6．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为______．
答案 R
解析 作轴截面如右图，设圆柱高为2h，则底面半径为.
圆柱体体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3.
令V′＝0，得2πR2－6πh2＝0.
∴h＝R，即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．
三、解答题
7．当圆柱形金属罐的表面积为定值S时，应怎样制作，才能使其容积最大？
解析 设圆柱的高为h，底面半径为R，
则S＝2πRh＋2πR2，∴h＝.①
∴V＝πR2h＝R(S－2πR2)＝RS－πR3.
∴V′(R)＝S－3πR2.
令V′(R)＝0，得S＝6πR2，代入①式中
h＝＝2R.
∴h＝2R时，圆柱的容积最大．
8．某单位用2
160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2
000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解析 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N
)，
f′(x)＝48－.
令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0；
当10因此，当x＝15时，
f(x)取最小值f(15)＝2
000(元)．
答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
9．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解析 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s(＋bv)，
∴所求函数及其定义域为y＝s(＋bv)，v∈(0，c]．
(2)由题意s、a、b、v均为正数．
由y′＝s(b－)＝0，得v＝.但v∈(0，c]．
①若≤c，则当v＝时，全程运输成本y最小；
②若>c，则v∈(0，c]，此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小．
综上可知，为使全程运输成本y最小．
当≤c时，行驶速度v＝；
当>c时，行驶速度v＝c.
10．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析 设隔热层厚度为x
cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元．
