1.4.2
导数应用
同步练习
一、选择题
1．函数y＝cos
2x在点处的切线方程是( )
A．4x＋2y＋π＝0
B．4x－2y＋π＝0
C．4x－2y－π＝0
D．4x＋2y－π＝0
答案：D
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是( )
A．3米/秒
B．2米/秒
C．1米/秒
D．4米/秒
解析：v(t)＝s′＝－1＋2t，所以v
(1)＝－1＋2×1＝1，故选C.
答案：C
3．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：B
4．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如下图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是( )
解析：由f′(x)的图象知0和－2是f(x)的极值点，且当x＞0时，f(x)单调递减，故选A.
答案：A
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
A． x0∈R，
f
(x0)＝
0
B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
C．若x0是y＝f(x)的极小值点，则y＝f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
解析：y＝f(x)的值域为(－∞，
＋∞)，
所以选项A正确；函数f(x)的图象可以由y＝x3的图象经过平移和伸缩得到，因为f(x)＝x3是奇函数，所以f(x)的图象是中心对称图形．所以选项B正确；显然选项C不正确；选项D正确．故选C.
答案：C
二、填空题
6．已知一物体的运动方程是s＝6t2－5t＋7，则其在t＝________时刻的速度为19.
解析：v(t)＝s′＝12t－5＝19，得t＝2.
答案：2
7．已知曲线y＝f(x)在x＝－2处的切线的倾斜角为，则f′(－2)＝______.
答案：－1
8．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为______________．
解析：设切点P的横坐标为x0，且 x＝x0＝2x0＋2＝tan
α(α为点P处切线的倾斜角)，又因为α∈，所以0≤2x0＋2≤1，所以x0∈.
答案：
三、解答题
9．已知x∈R，奇函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞)上单调，求实数a，b，c应满足的条件．
解析：∵函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c是奇函数，
可得f(0)＝0，∴c＝0，a＝0.
∵f′(x)＝3x2－b，又∵函数f(x)在x3－ax2－bx＋c在
[1，＋∞]上单调，
∴f′(x)＝3x2－b≥0或f′(x)＝3x2－b≤0(舍去)恒成立，∴b≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，即b≤3.
∴a＝0，b≤3，c＝0.
10．(2013·全国大纲卷)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
解析：当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，
f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈
(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′
(x)＜0，f(x)在(－1，＋1)是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)是增函数.
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解析：由f(2)≥0得，a≥－.
当a≥－，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝3(x－2)＞0，
所以f(x)在(2，＋∞)是增函数，于是当x∈[2，＋∞]时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.1.4.2
导数应用
同步练习
一、选择题
1．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是( )
A．6
B．9
C．9π
D．6π
解析：因为S′＝2πr，所以S′(3)＝2π×3＝6π.
答案：D
2．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为( )
A．2
B．4
C．8
D．以上都不对
答案：B
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
解析：∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)．
令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0∴函数在(0，9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，
∴当x＝9时，函数取得最大值，故选C.
答案：C
4．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则高为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
5．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( )
A．2πr2
B．πr2
C．4πr2
D.πr2
答案：A
二、填空题
6．有长为16
m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地面积最大值为__________．
解析：设矩形长为x
m，则宽为(8－x)m，矩形面积
S＝x(8－x)(0＜x＜8)，
令S′＝8－2x＝0得x＝4.所以Smax＝16(m2)．
答案：16
m2
7．铁道机车运行1小时所需的成本由两部分组成，固定部分为m元，变动部分与运行速度v(千米/时)的平方成正比．比例系数为k(k≠0)．如果机车匀速从甲站开往乙站，当机车以________速度运行时，成本最省．
解析：设以速度v匀速运行成本最省，甲、乙两站相距s千米，则机车匀速从甲站到乙站所需时间为t＝，总成本为y元．所以y＝(m＋kv2)·＝s，所以y′＝s，令y′＝0，得v＝，所以当v＝
时，y有最小值．
答案：
8．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72
cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．
解析：设底面宽为x
cm，则长为2x
cm，高为
cm，
S＝4x2＋＋＝4x2＋，
由S′＝8x－＝0得x＝3(cm)．
所以长为6
cm，宽为3
cm，高为4
cm.
答案：6
cm 3
cm 4
cm
三、解答题
9.如右图所示，用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积为100，
为使所用材料最省，矩形底宽应为多少？
解析：设圆的半径为r，矩形的宽为b，
铁丝长为l，
则100＝＋2br，∴b＝.
∴l＝πr＋
2r＋2b＝πr＋
2r＋－.
∴l′＝π＋2－－.
令l′＝0，得π＋2－－＝0，∴100＝r2
.
解得r＝10.
则底宽为20时用料最省．
10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
解析：因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意得200πrh＋160πr2＝12
000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V
(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因r
>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0，5)．
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解析：因V(r)＝
(300r－4r3)，
故V′(r)＝
(300－12r2)，
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
