1.5.1和1.5.2
曲边梯形的面积、汽车行驶的路程
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )
A．y＝x2
B．y＝|x|
C．y＝
D．y＝
解析： 由于函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．
答案： D
2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( )
A．f
B．f
C．f
D．f(0)
解析： 当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
答案： C
3．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
A．
B．
C．
D．
解析： 将区间[0，1]三等分为，，，各小矩形的面积和为s1＝03·＋3·＋3·＝.
答案： A
4．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 将区间[0，a]n等分，记第i个区间为(i＝1，2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则Sn＝2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝·，依题意得
·＝9，∴＝9，解得a＝3.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
解析： ∵把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
答案： 55
6．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0，1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．
解析： 由题意得
S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33.
答案： 0.33
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求直线x＝0，x＝2，
y＝0与曲线y＝所围成的曲边梯形的面积．
解析： 令f(x)＝.
(1)分割
将区间[0，2]n等分，分点依次为
x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.
第i个区间为(i＝1，2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1，2，…，n)，
Sn＝·Δx＝2··＝2
＝(12＋22＋…＋n2)＝·
＝.
(3)取极限S＝Sn＝
＝，即所求曲边梯形的面积为.
8．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动．在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
解析： ①分割：将时间区间[0，1]分为n等份，形成n个小区间[ti－1，ti]＝(i＝1，2，…，n)，且每个小区间长度为Δti＝(i＝1，2，…，n)．汽车在每个时间段上行驶的路程分别记作：Δs1，Δs2，…，Δsn.
则显然有s＝si.
②近似代替：当n很大，即Δt很小时，在区间上，函数v(t)＝－t2＋2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值v＝－2＋2.从物理意义看，就是汽车在时间段(i＝1，2，…，n)上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度v＝－2＋2做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”．于是
Δsi≈Δs′i＝vΔt＝·
＝－2·＋(i＝1，2，…，n)．
(
)
③求和：由(
)得sn＝s′i＝Δt
＝
＝－0·－2·－…－2·＋2
＝－[12＋22＋…＋(n－1)2]＋2
＝－·＋2
＝－＋2.
④取极限：当n趋向于无穷大，即Δt趋向于0时，
sn＝－＋2趋向于s，从而有21世纪教育网
s＝sn＝v
＝
＝.
?
9.求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝x3所围成的图形的面积．
解析： ①分割
如图所示，用分点，，…，，把区间[1，2]等分成n个小区间，，…，，…，，每个小区间的长度为Δx＝－＝(i＝1，2，3，…，n)．过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
②近似代替
各小区间的左端点为ξi，取以点ξi的纵坐标ξ为一边，以小区间
长Δx＝为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ·Δx＝3·(i＝1，2，3，…，n)．
③求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即S＝Si≈3·.
④取极限
当分点数目越多，即Δx越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD的面积S.因此n→∞，即Δx→0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形ABCD的面积．
因为3·＝(n＋i－1)3
＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3]
＝[n(n－1)3＋3(n－1)2·＋3(n－1)··(n＋1)·(2n＋1)＋n2(n＋1)2]，
所以S＝3·
＝1＋＋1＋＝.1.5.2
汽车行驶的路程
同步练习
一 选择题
1.汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(
)
解析:汽车加速行驶时，相同的时间内汽车走过的路程越来越多，曲线呈加速上升状态，曲线的切线的斜率也越来越大；汽车减速行驶时，相同的时间内汽车走过的路程越来越少，曲线呈减速下降状态，曲线的切线的斜率也越来越小.
答案:A
点评:加速行驶时速度越来越大，曲线的切线的斜率也越来越大，减速行驶时速度越来越小，曲线的切线的斜率也越来越小.常用此法来判断物体运动的路程—时间曲线的变化情况.
2.如果物体按规律s=tn运动，在时刻t=1时的瞬时速度为3，则n为(
).
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:s′(t)=ntn-1，t=1时，n=3.故选C.
答案:C
3.汽车以v=(3t+2)
m/s做变速直线运动，在第1
s到第2
s间的1
s内经过的路程是(
)
A.7
m
B.6.8
m
C.6.5
m
D.6.3
m
答案:C
4.已知某物体运动的速度为v=t，t∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为(
)
A.45
B.55
C.60
D.65
解析:因为把区间[0，10]十等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n=1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.所以物体运动的路程近似值s=1×(1+2+…+10)=55.故选B.
答案:B
5.若做变速直线运动的物体v(t)=t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:C
二 填空题
6.物体以v=10
km/h的速度做匀速直线运动，经过2.5小时后物体经过的路程为________.
答案:25
km
7.汽车作直线运动，前2小时的速度是v=110
km/h，后3小时的速度是v=80
km/h，则5小时内汽车行驶的路程为________.
解析:路程s=2×110+3×80=460
(km).
答案:460
km
8.某物体做匀加速直线运动，速度v关于时间t的关系式为v=1+2t，则在0答案:56
三 解答题
9.若一辆汽车的速度—时间曲线如下图所示，
求汽车在这1
min行驶的路程.
解析:求汽车在这1
min行驶的路程，就是求梯形ABCO的面积.
s=×30=1
350
(m).
10.若物体做变速运动，速度v关于时间t的关系式为v=3t2，求物体在0解析:按分割 近似代替 求和 取极限的解题步骤进行，解得行驶的路程为8.1.5.1
曲边梯形的面积
同步练习
一、选择题
1．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形面积S时，在区间
[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )
①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．
A．
1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：A
2．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]
D．以上答案均不正确
解析：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，选项C正确，故选C.
答案：C
3．由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2所围成的平面图形(如右图所示)，若把区间[0，2]等分成10个小区间，把曲边梯形分成10个小曲边梯形，则第6个小梯形的面积可近似地等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：第6个区间为，区间长为，第6个小曲边梯形可近似地等于边长分别为和1的矩形的面积.
答案：B
4．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( )
A.
B.
C.
D.
解析：s＝×＝
＝.故选D.
答案：D
5．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0，2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是 ( )
A．
B．
C．
D．
解析：将区间[0，2]进行n等分每个区间长度为，故应选B.
答案：B
二、填空题
6．在区间[1，10]上等间隔地插入8个点，则将它等分成______个小区间，每个小区间的长度为______．
答案：9 1
7．
＝________.
解析：
＝
＝3.
答案：3
8．对于由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形，当把区间[0，1]等分为10个小区间时，曲边梯形的面积近似值为________．
答案：
三、解答题
9．求出由直线x＝0，x＝3，y＝0和曲线y＝围成的平面图形的面积．
解析：圆(x－1)2＋y2＝4在第一象限的面积如右图：
∠ACB＝，OB＝，
面积S＝S△BOC＋S扇形ACB＝
＋×2×2×＝＋.
10．用定积分定义求由x＝0，x＝1，y＝x＋1，y＝0围成的图形的面积．
解析：因为f(x)＝1＋x在区间[0，1]上连续，将区间[0，1]分成n等份，
则每个区间的长度为Δxi＝，在[xi－1，xi]＝上取ξi＝xi－1＝(i＝1，2，3，…，n)，于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋，从而(ξi)Δxi＝·＝＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝1＋·＝1＋，所以S＝
＝1＋＝.
