1.5.3
定积分的概念
同步练习
1．由定积分的几何意义可得dx的值等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 定积分dx等于直线y＝与x＝0，x＝2，y＝0围成三角形的面积S＝×2×1＝1.
答案： A
2．已知f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )
A．0
B．4
C．8
D．16
解析： ∵被积函数f(x)是偶函数，
∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形的面积相等．
∴f(x)dx＝2f(x)dx＝2×8＝16.
答案： D
3．定积分xdx与dx的大小关系是( )
A．xdx＝dx
B．xdx>dx
C．xdxD．无法确定
解析： 由定积分的几何意义结合右图可知xdx4．函数y＝(cos
t＋t2＋2)dt(x>0)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．以上都不正确
解析： y＝＝2sin
x＋＋4x，为奇函数．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．定积分|x|dx＝________.
解析： 如图，|x|dx＝＋2＝.
答案：
6．下列等式成立的是________．(填序号)
①[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx；
②[f(x)＋1]dx＝f(x)
dx＋b－a；
③f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx；
④sin
xdx＝sin
xdx＋sin
xdx.
解析： 利用定积分的性质进行判断③不成立．
例如xdx＝，x2dx＝，x3dx＝，但x3dx≠xdx·x2dx.
答案： ①②④
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知exdx＝e－1，exdx＝e2－e，x2dx＝，dx＝2ln
2.求：
(1)exdx；
(2)(
ex＋3x2)dx；
(3)dx.
解析： (1)exdx＝exdx＋exdx
＝e－1＋e2－e＝e2－1.
(2)(ex＋3x2)dx＝exdx＋(3x2)dx
＝exdx＋3x2dx＝e2－1＋8＝e2＋7.
(3)dx＝exdx＋dx
＝e2－e＋ln
2.
8．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间[－1，3π]上的定积分．
解析： 由定积分的几何意义知
x5dx＝0.sin
xdx＝0(如图所示)．
f(x)dx＝x5dx＋xdx＋sin
xdx
＝xdx＝(π2－1)．
9.
计算
(－x3)dx的值．
解析： 如图，
由定积分的几何意义，得dx＝＝，
x3dx＝0.
由定积分的性质，得
(－x3)dx＝dx－x3dx＝.1.5.3
定积分的概念
同步练习
一、选择题
1．定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，
b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]及ξi的取法无关
C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
答案：A
2．已知f
(x)dx＝3，则[f(x)＋6]dx＝( )
A．9
B．12
C．15
D．18
答案：C
3．已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx＝( )
A．0
B．16
C．12
D．8
答案：B
4．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin3x围成的平面图形的面积可以表示为( )
A.
(x3＋sin3x)dx
B.
C.
(x3＋sin3x)dx
D．2(x3＋sin3x)dx
答案：D
5.
由y＝ex，x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积为S，若选择x为积分变量，则S＝( )
A.
exdx
B.
exdx
C.
(ex－1)dx
D.
(ex－1)dx
解析：根据定积分的几何意义，结合图形，在公共的积分区间[0，2]上，上界函数为y＝ex，下界函数为y＝1，
所以S＝(ex－1)dx.
答案：D
二、填空题
6．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________________________________________________________________________．
解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为
xdx－dx＝dx
答案：dx
7.
dx＝________.
解析：积分dx表示如下图所示的圆的面积的.
所以S＝π(2)2＝π.
答案：π
8．给出以下结论：
①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(a＜c＜b)；
④f(x)·g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx.
其中正确的有________(填序号)．
答案：①②③
三、解答题
9．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：
(1)
3x3dx；
解析：
3x3dx＝3x3dx＝3×＝12.
(2)
6x2dx；
解析：6x2dx＝6x2dx
＝6×＝126.
(3)
(3x2－2x3)dx.
解析：
(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－
10．计算定积分：[－x]dx.
解析：[－x]dx＝dx－xdx，
令S1＝dx，S2＝xdx.
S1、S2的几何意义如图(1)、(2)所示．
对S1＝dx，
令y＝≥0，
则(x－1)2＋y2＝1(0≤x≤1，y≥0)
由定积分几何意义知
S1＝dx＝π×12＝.
对于S2＝xdx，由其几何意义知S2＝×1×1＝，[－x]dx＝S1－S2＝－＝.
