1.6
微积分基本定理
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知f(x)是一次函数且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为( )
A．4x＋3
B．3x＋4
C．－4x＋3
D．－3x＋4
解析： 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则xf(x)＝ax2＋bx，
f(x)dx＝＝＋b＝5，
①
xf(x)dx＝＝＋＝，
②
联立①②得 ，
∴f(x)＝4x＋3，
故选A.
答案： A
2．若dx＝，则b＝( )
A．
B．2
C．3
D．4
解析： dx＝－＝－＝，解得b＝2.
答案： B
3．设f(x)＝，则f(x)dx等于( )
A．
B．
C．
D．不存在
解析： f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋＝.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
4．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.
解析： 由f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝－1，
知f(x)dx＝－1－f(x)dx＝－2.
答案： －2
5．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f
(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
解析： f(x)dx＝＝＋c，
又f(x0)＝f(x)dx，
∴＋c＝ax＋c，∴x＝，
∴x0＝±，又0≤x0≤1，
∴x0＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
6．计算下列定积分．
(1)
(1＋x＋x2)dx；
(2)
(3x2－2x＋5)dx；
(3)(cos
x－sin
x)dx；
(4)dx.
解析： (1)(1＋x＋x2)dx＝1dx＋xdx＋x2dx
＝x＋x2＋x3
＝(3－1)＋(32－12)＋(33－13)
＝.
(2)(3x2－2x＋5)dx＝3x2dx－2xdx＋5dx
＝x3－x2＋5x＝(53－23)－(52－22)＋5(5－2)
＝111.
(3)(cos
x－sin
x)dx＝(sin
x＋cos
x)
＝(sin
2π＋cos
2π)－(sin
0＋cos
0)＝0.
(4)dx＝(ex－ln
x)
＝(e2－ln
2)－(e1－ln
1)
＝e2－e－ln
2.
7．求函数f
(x)＝在区间[0，3]上的定积分；
解析：
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
＝x3dx＋dx＋2xdx
＝x4＋x＋
＝＋－＋－
＝－＋＋.
?
8.(10分)已知函数f(x)＝
(at2＋bt＋1)dt为奇函数，且f(1)－f(－1)＝，试求a，b的值．
解析： f
(x)＝
(at2＋bt＋1)dt
＝＝x3＋x2＋x.
∵f(x)为奇函数，
∴＝0，即b＝0.
又∵f(1)－f(－1)＝，∴＋1＋＋1＝，
∴a＝－.1.6
微积分基本定理
同步练习
一 选择题
1.
(ex+2x)dx=(
)
A.1
B.e-1
C.e
D.e+1
答案:C
2.已知f(x)=则f(x)dx的值为(
)
A.
B.
C.
D.-
答案:B
3.由曲线y=x2-1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是(
)
A.
(x2-1)dx
B.
|(x2-1)
dx|
C.
|x2-1|dx
D.
(x2-1)dx+(x2-1)dx
答案:C
4.下列定积分计算正确的是(
)
A.
sin
xdx=4
B.
2xdx=1
C.
dx=ln
D.
3x2dx=3
答案:C
5.若dx=3+ln
2，则正数a的值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.5
答案:B
二 填空题
6.定积分dx=__________.
答案:(2-1)
7.若x2dx=9，则常数T的值为________.
解析:因为′=x2，所以T=3.
答案:3
8.计算定积分(x2+sin
x)dx=________.
答案:
三 解答题
9.计算下列定积分:
|2-x|dx；
解析:
|2-x|dx
=(2-x)dx+(x-2)dx
=+
=2+=.
10.若函数f(x)=ax+b(a≠0)，且f(x)dx=1，求证:[f(x)]2dx>1.
证明:由于f(x)dx=(ax+b)dx
==a+b，
所以a+b=1，
所以[f(x)]2dx=(ax+b)2dx=(a2x2+2abx+b2)dx=
=a2+ab+b2=2+a2=1+a2>1(a≠0)，故原不等式成立.
