1.7
定积分的简单应用
同步练习
基础巩固强化
1．如图是一个质点做直线运动的v—t图象，则质点在前6
s内的位移为________．
[答案] 9m
[解析] 直线OA方程为y＝x，直线AB方程为y＝－x＋9，故质点在前6
s内的位移为xdx＋(－x＋9)dx＝x2|＋(－x2＋9x)|＝6＋3＝9.
2．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f
′(1)＝________.
[答案] 3
[解析] ∵切点M在切线y＝x＋2上，
∴f(1)＝×1＋2＝，
又切线斜率k＝，∴f
′(1)＝，
∴f(1)＋f
′(1)＝＋＝3.
3．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：
(1)切点A的坐标；
(2)过切点A的切线方程．
[解析] 如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x知过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x.
令y＝0得x＝，即C.
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，
S＝S曲边△AOB－S△ABC，S曲边△AOB＝∫x00x2dx＝x，
S△ABC＝|BC|·|AB|＝·x＝x，
即S＝x－x＝x＝.
所以x0＝1，从而切点A(1，1)，切线方程为y＝2x－1.1.7.2
定积分在物理中的应用
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．一物体从A处向B处运动，速度为1.4t
m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35
m/s，则AB间的距离为( )
A．120
m
B．437.5
m
C．360
m
D．480
m
解析： 从A处到B处所用时间为25(s)．
所以AB＝1.4tdt＝0.7t2＝437.5(m)．
答案： B
2．一物体沿直线以速度v(t)＝2t－3(t的单位为：s，v的单位为：m/s)做变速直线运动，该物体从时刻t＝0至时刻t＝5运动的路程是( )
A．
m
B．15
m
C．10
m
D．
m
解析： ∵当0≤t≤时，v(t)＝2t－3≤0；
当≤t≤5时，v(t)＝2t－3≥0，
∴物体从t＝0至t＝5间运动的路程
s＝＋＝(m)．
答案： A
3．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向从x＝0运动到x＝4(单位：m)，则力F(x)做的功为( )
A．44
J
B．46
J
C．48
J
D．50
J
解析： W＝F(x)dx
＝10dx＋(3x＋4)dx
＝10x＋
＝46(J)．
答案： B
4．以初速度40
m/s竖直向上抛一物体，t
s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
解析： 由v＝40－10t2＝0，得到物体达到最高时t＝2，高度
h＝(40－10t2)dt＝＝(m)．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．一物体以v＝9.8t＋6.5(m/s)的速度自由下落，则下落后第二个4
s内经过的路程是________．
解析： (9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)
＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4
＝313.6＋52－78.4－26
＝261.2(m)．
答案： 261.2
m
6．某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知s＝t2，则该物体由位移s＝0移动到位移s＝a时克服阻力所作的功为______________．(注：变力F做功W＝F(s)ds，结果用k，a表示．
解： ∵在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，
∴F＝kv2，
∵t时刻，它的速度为v，位移为s，
∴s＝t2，
s′(t)＝t，即v＝s′(t)＝t，
∴s＝t2＝v2，
即v2＝2s，
即F＝kv2＝2ks，
则由W＝F(s)ds得W＝2ksds＝ks2＝ka2，
故答案为：ka2.
答案： ka2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，求由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功．
解析： W＝F(x)cos
30°dx＝(5－x2)dx
＝＝(J)．
8.汽车以每小时32千米的速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车以减速度a＝1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解析： 首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间．当t＝0时，汽车速度
v0＝32千米/小时＝米/秒≈8.89米/秒，刹车后汽车减速行驶，其速度为v(t)＝v0－at＝8.89－1.8t，当汽车停住时，速度v(t)＝0，故从v(t)＝8.89－1.8t＝0解得
t＝≈4.94秒
于是在这段时间内，汽车所走过的距离是
s＝
v(t)dt＝(8.89－1.8t)dt
＝≈21.95米，
即在刹车后，汽车需走过21.95米才能停住．1.7.3
定积分
同步练习
一、选择题
1．设连续函数f(x)＞0，
则当a＜b时，
定积分f(x)dx的符号( )
A．一定是正的
B．一定是负的
C．当0＜a＜b时是负的，
当a＜b＜0时是正的
D．不能确定
答案：A
2．如下图，阴影部分的面积为( )
A.
f(x)dx
B.
g(x)dx
C.
[f(x)－g(x)]dx
D.
[g(x)－f(x)]dx
答案：C
3．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(F的单位：N，x的单位：m)的作用下，沿与力F(x)相同的方向由x＝5
m运动到x＝10
m处，则F(x)所做的功是( )
A．925
J
B．850
J
C．825
J
D．800
J
解析：W＝(x3－x2＋5x)|
＝(1
000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．
答案：C
4．如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是( )
A．6
B．9
C．12
D．3
解析：由解得交点
(－1，2)，(2，－1)，
所以S＝[(3－x2)－(x2－2x－1)]dx＝＝9.
故选B.
答案：B
5.过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a＞0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为( )
A．y＝ax
B．y＝±ax
C．y＝－ax
D．y＝－5ax
答案：A
二、填空题
6．若函数f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx的值为________．
答案：0
7．定积分sin
2xdx
的值等于________．
答案：0
8．若a＝
x2dx，b＝x3dx，c＝sin
xdx，则a、b、c大小关系是________．
解析：a＝；
b＝4；
c＝1－cos
2.
所以c
答案：
c三、解答题
9．直线
y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k值及直线方程．
解析：由得或(0由题意得[(x－x2)－kx]dx＝
(x－x2)dx，
即＝.
所以＝，所以
(1－k)3＝，k＝1－.
所以直线方程为y＝x.
10．如下图所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a＞1)交于点O，A，直线x＝t(0＜t≤1)与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连接OD，DA，AB.
(1)写出曲边四边形ABOD
(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；
解析：由得点O
(0，
0)，A(a，a2)．
又由已知得B(t，－t2＋2at)，D(t，t2).
故S＝(－x2＋2ax)dx－·t·t2＋(－t2＋2at－t2)×(a－t)
＝－t3＋(－t2＋at)×(a－t)
＝－t3＋t3－2at2＋a2t
＝t3－at2＋a2t.
∴S＝f(t)＝t3－at2＋a2t(0＜t≤1).
(2)求函数S＝f(t)在区间(0，1]上的最大值．
解析：f′(t)＝t2－2at＋a2，令f′(t)＝0，即t2－2at＋a2＝0，解得t＝(2－)a或t＝(2＋)a.
∵0＜t≤1，a＞1，∴t＝(2＋)a应舍去．
若(2－)a≥1，即a≥＝，
∵0＜t≤1，∴f′(t)≥0.
∴f(t)在区间(0，1]上单调递增，S的最大值是
f(1)＝a2－a＋.
若(2－)a＜1，即1＜a＜，
当0＜t＜(2－)a时，f′(t)＞0；
当(2－)a＜t≤1时，f′(t)＜0，
∴f(t)在区间(0，(2－)a]上单调递增，
在区间[(2－)a，1]上单调递减．
∴f(t)的最大值是f[(2－)a]＝[(2－)a]3－a[(2－)a]2＋a2(2－)a＝a3.
综上所述，f(t)max＝